矩阵是线性代数中的重要概念之一，它是由若干行和列组成的矩形阵列。在矩阵的运算中，有一个很重要的性质就是转置乘以矩阵本身的运算，即A^T*A。很多人会问，这个运算是否满足交换律呢？

首先，我们来看一下转置的定义。矩阵A的转置，记作A^T，是将A的行和列互换得到的新矩阵。例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，它的转置矩阵为A^T = [1 4; 2 5; 3 6]。

接下来，我们来证明转置乘以矩阵本身是满足交换律的。假设有两个矩阵A和B，它们的乘积为A*B。那么，它们的转置乘积为(A*B)^T = B^T*A^T。

现在，我们来看一下转置乘以矩阵本身的运算，即A^T*A。根据矩阵乘法的定义，我们可以得到A^T*A的元素为：

(A^T*A)ij = Σk (A^T)ik * Akj

其中，Σk表示对k求和，i和j表示矩阵A^T*A的行和列。根据矩阵转置的定义，我们可以得到(A^T)ik = Ai^k，即A^T的第i行第k列元素等于A的第k行第i列元素。因此，上式可以进一步化简为：

(A^T*A)ij = Σk Ai^k * Akj

现在，我们来证明A^T*A和A*A^T是相等的。根据矩阵乘法的定义，我们可以得到A*A^T的元素为：

(A*A^T)ij = Σk Aik * Akj

将A^T的定义代入上式，可得：

(A*A^T)ij = Σk Aik * A^jk

根据矩阵乘法的交换律，我们可以将A^jk调换为Aj^k，即：

(A*A^T)ij = Σk Aik * Ajk

这与A^T*A的元素表示式完全相同，因此A^T*A和A*A^T是相等的。

综上所述，转置乘以矩阵本身是满足交换律的。对于线性代数中的矩阵运算，这是一个重要的性质，可以方便我们进行矩阵计算。