正方形的中点四边形是正方形，这是一个经典的几何定理，它的证明可以通过构造和几何推理来完成。

首先，我们需要明确中点四边形的概念。中点四边形是指连接一个正方形的相邻两个顶点，并且这条线段的中点构成的四边形。如下图所示，ABCD为正方形，EFGH为中点四边形。


接下来，我们需要证明中点四边形EFGH是正方形。我们可以通过以下步骤来完成证明：

第一步：连接相邻两个顶点

我们连接AD和BC，这样我们可以得到两个三角形：ABD和CBD。


第二步：证明三角形相似

我们可以通过三角形的相似性来证明中点四边形EFGH是正方形。我们可以发现三角形ABD和CBD是相似的，因为它们有共同的角度，即$\angle ABD$ 和 $\angle BCD$，并且它们的两条边分别平行，即AD和BC平行，BD为它们的公共边。


第三步：证明相似三角形的比例

我们可以通过相似三角形的比例来证明中点四边形EFGH是正方形。由于三角形ABD和CBD是相似的，我们可以得到以下比例：

$AD/BD=BD/BC$

因为正方形的边长相等，所以我们可以将$AD$和$BC$替换为$a$，$BD$替换为$a/\sqrt$，得到：

$a/\sqrt=\sqrta/2$

化简可得：$a^2/2=a^2/2$

这意味着中点四边形EFGH是正方形，证毕。

综上所述，中点四边形EFGH是正方形的证明可以通过构造和几何推理来完成。