余数与除数是数学中重要的概念，理解它们的关系对于学习整数除法和模运算都有很大帮助。本文将介绍一种针对初中生的余数与除数的关系教学设计。

首先，教师可以通过实际例子让学生理解余数的概念。例如，如果有15个苹果要平均分给3个人，每人可以得到5个苹果，但剩下的苹果数就是余数，即15除以3的余数为0。如果只有13个苹果，每人可以得到4个苹果，但还剩1个苹果，即13除以3的余数为1。通过这种方式，让学生通过实际例子理解余数的概念。

其次，教师可以引导学生发现余数与除数的关系。例如，如果一个数能被3整除，那么它的余数一定是0；如果余数为1，那么这个数除以3一定是有1个余数的。通过这种方式，让学生发现余数与除数的关系。

接着，教师可以让学生通过练习来巩固对余数与除数关系的理解。例如，出一些简单的除法题目，要求学生不仅写出商，还要写出余数，并让学生找出余数与除数的关系。例如，15除以3的余数为0，说明15能被3整除；13除以3的余数为1，说明13除以3有1个余数。通过这种方式，让学生通过实践来巩固对余数与除数关系的理解。

最后，教师可以让学生通过游戏来加深对余数与除数关系的理解。例如，让学生分组，每个组有5人，然后给每个组一定数量的糖果，要求每个人都能分到相同数量的糖果，但不能剩下。这样，学生就需要通过试探来确定每个组能分到的糖果数量，从而加深对余数与除数关系的理解。

综上所述，通过实际例子、发现规律、练习以及游戏等多种方式的结合，可以帮助初中生加深对余数与除数关系的理解，从而更好地掌握整数除法和模运算。