行列式是线性代数中重要的概念之一，它可以用于解决线性方程组以及线性变换等问题。以下是行列式的几个重要性质：

1. 行列式与转置矩阵的关系

行列式的值与其转置矩阵的值相等，即det(A) = det(A^T)。这个性质可以通过矩阵的定义以及行列式的展开式证明。

2. 行列式与矩阵的乘积的关系

对于两个矩阵A和B，它们的行列式乘积等于它们的乘积的行列式，即det(AB) = det(A)det(B)。这个性质可以通过行列式的定义以及矩阵的乘积展开式证明。

3. 行列式的行（列）线性关系

对于矩阵A的两行（列），如果将其中一行（列）乘以一个常数k后加到另一行（列）上，那么行列式的值不变。这个性质可以通过行列式的定义以及行列式的展开式证明。

4. 行列式的性质与矩阵的可逆性

如果一个矩阵A的行列式不等于0，那么A是可逆矩阵。反之，如果一个矩阵A不可逆，那么它的行列式等于0。这个性质可以通过矩阵的逆的定义以及行列式的定义证明。

5. 行列式的性质与矩阵的秩的关系

对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不等于0，那么它的秩为n。反之，如果它的秩小于n，那么它的行列式等于0。这个性质可以通过矩阵的秩的定义以及行列式的定义证明。

综上所述，行列式是一种非常重要的数学工具，它具有许多重要的性质。对于求解线性方程组、矩阵的逆以及判断矩阵可逆性等问题，行列式都有非常重要的应用。