导数加法法则是微积分中的一项重要定理，其表述为：若函数f(x)和g(x)都在x点可导，则它们的和f(x) + g(x)在x点也可导，且导数等于f(x)的导数加上g(x)的导数，即：

$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

现在，我们将证明这个定理。

首先，根据导数的定义，f(x)在x点的导数为：

$f'(x) = \lim\limits_\frac$

同样地，g(x)在x点的导数为：

$g'(x) = \lim\limits_\frac$

接下来，我们考虑(f(x) + g(x))在x点的导数。根据导数的定义，它可以表示为：

$(f(x) + g(x))' = \lim\limits_\frac$

将分子拆开，得到：

$(f(x) + g(x))' = \lim\limits_\frac + \lim\limits_\frac$

由于f(x)和g(x)在x点都可导，因此上式中的两个极限都存在，分别等于f'(x)和g'(x)，即：

$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

综上所述，我们证明了导数加法法则。这个定理的意义在于，它允许我们通过对每一项分别求导来求解更复杂的函数的导数，为微积分的应用提供了重要的工具。