三角形中位线是连接三角形任意两个顶点所对应中点的线段。在三角形内部，三条中位线交于一点，该点称为三角形的重心。三角形中位线的判定定理是指当三角形中任意两条中位线相等时，该三角形为等边三角形，即三边长度相等。

证明如下：

设三角形ABC的中位线DE与FG相等，DE=FG。

连接线段AD、BF，交于点H。

∵DE是中位线，所以DE=AC/2

∵FG是中位线，所以FG=BC/2

∵DE=FG，所以AC=BC

∵AH=HD，BF=HF，所以AD=BF

∴AB=AD+BF=AD+AD=2AD

∴AB=2AD=2AC/2=AC

同理，可证明BC=AC，即三边长度相等，故三角形ABC为等边三角形。

因此，当三角形中任意两条中位线相等时，该三角形为等边三角形。

三角形中位线判定定理的应用十分广泛，可以用于三角形的分类、求解三角形面积、计算三角形重心等问题。