幂函数是指形如 $f(x)=x^a$ 的函数，其中 $a$ 为常数。在微积分中，我们经常需要求解幂函数的导数，以便进一步研究该函数的性质。下面，我们将介绍如何推导幂函数的导数公式。

首先，我们可以利用定义式求出幂函数的导数。根据导数的定义，当 $h$ 趋近于 $0$ 时，幂函数的导数为：

$$f'(x)=\lim_\frac$$

将幂函数的表达式代入上式，得到：

$$f'(x)=\lim_\frac$$

接下来，我们可以利用“差的 $a$ 次方”公式将分子展开：

$$(x+h)^a-x^a=(x^a+ahx^+O(h^2))-x^a=ahx^+O(h^2)$$

其中 $O(h^2)$ 表示比 $h^2$ 更高阶的无穷小量。将上式代入导数的定义式中，得到：

$$f'(x)=\lim_\frac{ahx^+O(h^2)}=a x^$$

因此，幂函数的导数为 $f'(x)=a x^$。这个公式对于所有的实数 $a$ 都成立，包括正整数、负整数、分数和无理数等。

需要注意的是，当 $a=0$ 时，幂函数变为常函数 $f(x)=1$，其导数为 $f'(x)=0$。当 $a<0$ 时，幂函数在定义域内不是单调递增或递减的，因此需要特别注意其导数的符号。

综上所述，幂函数的导数公式为 $f'(x)=a x^$。这个公式在微积分中应用广泛，是研究幂函数性质的基础。