矩阵是数学中一个重要的概念，是由若干个数排成的矩形阵列。在矩阵的运算中，初等变换是一种常见的操作，它可以通过交换、缩放、加减等方式改变矩阵的行列式和特征值，但不会改变矩阵的秩。

首先，我们需要明确矩阵的秩是什么。矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。它可以通过对矩阵进行初等变换来确定。而初等变换是指对矩阵进行一系列的操作，包括交换两行或列、将某一行或列乘以一个非零常数、将某一行或列加上另一行或列的若干倍等。

为什么初等变换不会改变矩阵的秩呢？这可以通过以下证明来说明：

假设矩阵A可以通过一系列初等变换转化为矩阵B，那么我们可以得到如下的方程组：

A * x = 0

B * y = 0

其中x和y分别是A和B的零空间中的向量。由于初等变换不改变线性方程组的解，即A * x = 0和B * y = 0的解集相同，因此A和B的零空间也相同。

而根据矩阵的秩的定义，矩阵的秩等于其零空间的维度的补集维度，即矩阵的秩等于其列空间的维度。由于A和B的列空间相同，因此它们的秩也相同。

综上所述，初等变换不改变矩阵的秩。这一结论在矩阵的理论和应用中具有重要的意义，它保证了在矩阵变换的过程中，我们可以通过初等变换来简化计算，而不需要担心对矩阵的秩产生影响。