等比数列是数学中常见的一种数列，它的每一项都是前一项乘以一个相同的常数，这个常数被称为公比。等比数列的通项公式可以写为 $a_n=a_1\cdot r^$，其中 $a_n$ 表示第 $n$ 项，$a_1$ 表示首项，$r$ 表示公比。

我们想要求等比数列的前 $n$ 项之和 $S_n$，可以使用以下方法：将等比数列的前 $n$ 项分别乘以公比 $r$，得到一个新的数列，记为 $r\cdot a_1, r^2\cdot a_2, r^3\cdot a_3, \cdots, r^n\cdot a_n$。将这个数列与原等比数列相减，得到一个新的数列 $a_1\cdot (1-r), a_2\cdot (r-r^2), a_3\cdot (r^2-r^3), \cdots, a_\cdot (r^-r^), a_n\cdot (r^-r^n)$。观察这个数列，可以发现它的每一项都可以因式分解为 $a_k\cdot (1-r^k)$ 的形式，因此可以将它们相加，得到：

$$a_1\cdot (1-r)+a_2\cdot (1-r^2)+a_3\cdot (1-r^3)+\cdots+a_\cdot (1-r^)+a_n\cdot (1-r^n)$$

将等比数列的通项公式代入上式，得到：

$$S_n=a_1\cdot\frac$$

这就是等比数列前 $n$ 项之和的通项公式。通过这个公式，我们可以方便地求解等比数列的和，而不必逐一累加每一项。

需要注意的是，在 $r=1$ 的情况下，等比数列就变成了等差数列，此时通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d$，其中 $d$ 表示公差，求和公式为 $S_n=\frac(a_1+a_n)$。在这种情况下，上述求和公式不适用，需要使用等差数列的求和公式。