余下与君共勉是一句寄语，意为在共同努力中互相鼓励、激励，共同前进。这句话源自中国古代名士李白的《将进酒》诗中的名句：“余音绕梁，三日不绝；余音绕梁，三日不断。人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。天生我材必有用，千金散尽还复来。烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。”其中“余音绕梁”这一句比喻好的音乐旋律在耳畔回荡不绝，而“余下与君共勉”则是从这句诗中演化而来。

这句话在现代社会中也被广泛应用，特别是在教育、工作、生活等方面。在学习中，我们需要互相鼓励、互相帮助，共同进步。在工作中，我们需要团结协作，互相支持，共同完成任务。在生活中，我们需要互相扶持、关心和理解，共同度过困难。这句话提醒我们，不管在哪个领域，都需要与他人合作，共同前进。

余下与君共勉是一种人际关系的建立方式，通过共同努力和鼓励，建立起互相信任和支持的关系，让我们更加坚定前行的步伐。因此，我们需要在日常生活中注重与他人的交流和互动，不断提高自己的合作能力和信任度，以此来实现共同发展和进步。