空间中两平面之间的距离是指平面之间最短的距离。在空间几何中，计算平面之间的距离是非常重要的。这篇文章将介绍两平面间距离公式的推导过程。

假设平面 $ax+by+cz+d_1=0$ 和平面 $Ax+By+Cz+d_2=0$ 之间的距离为 $h$。我们可以通过向量的方法来求解平面之间的距离。

首先，我们需要找到两平面上的任意一点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2, z_2)$。然后，我们可以将这两个点分别带入平面方程中，得到：

$$

\begin

ax_1+by_1+cz_1+d_1=0 \\

Ax_2+By_2+Cz_2+d_2=0

\end

$$

接下来，我们定义向量 $\overrightarrow$，表示从点 $P_1$ 到点 $P_2$ 的向量。则向量 $\overrightarrow$ 在两平面上的投影分别为：

$$

\overrightarrow \cdot \begina \\ b \\ c\end = 0 \\

\overrightarrow \cdot \beginA \\ B \\ C\end = 0

$$

将向量 $\overrightarrow$ 表示为坐标 $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ 的形式，代入上述公式，得到：

$$

a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2-z_1) = 0 \\

A(x_2-x_1) + B(y_2-y_1) + C(z_2-z_1) = 0

$$

我们可以将以上两个式子组成一个方程组：

$$

\begin

a & b & c \\

A & B & C

\end

\begin

x_2 - x_1 \\

y_2 - y_1 \\

z_2 - z_1

\end

=

\begin

0 \\

0

\end

$$

由此可得，向量 $\overrightarrow$ 与两平面法向量的夹角相等。因此，两平面之间的距离为两个平面法向量的夹角的正弦值与向量 $\overrightarrow$ 的模长的乘积，即：

$$

h = \frac{\left|\begina \\ b \\ c\end \cdot \beginA \\ B \\ C\end\right|}{\left|\begina \\ b \\ c\end\right| \cdot \left|\beginx_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ z_2-z_1\end\right|}

$$

化简上式，可得：

$$

h = \frac}

$$

以上即为空间两平面间的距离公式的推导过程。