余弦定理公式是解决三角形中角度和边长关系的重要公式之一,它可以帮助我们计算出三角形中任意一边的长度。本文将介绍余弦定理公式及其变形例题解析。
余弦定理公式
设三角形ABC的三边分别为a、b、c,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则有余弦定理公式:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
其中,c为三角形ABC的斜边,a、b为斜边两侧的直角边,C为斜边c对应的角度。
变形例题解析
例题1:已知三角形ABC,且$\angle A=60^, BC=5, AB=3$,求AC的长度。
解题思路:
根据余弦定理公式,可以得到:
$AC^2=AB^2+BC^2-2AB \times BC \times \cos \angle A$
代入数据,即得:
$AC^2=3^2+5^2-2 \times 3 \times 5 \times \cos 60 ^$
$AC^2=34-15=19$
因此:
$AC=\sqrt$
例题2:已知三角形ABC,且$\angle A=45^, \angle B=30^, BC=5$,求AC的长度。
解题思路:
根据余弦定理公式,可以得到:
$AC^2=AB^2+BC^2-2AB \times BC \times \cos \angle A$
因为$\angle A=45^$,$\cos \angle A=\sin \angle A=\dfrac}$,所以:
$AC^2=AB^2+BC^2-2AB \times BC \times \dfrac}$
根据正弦定理公式,可以得到:
$\dfrac=\dfrac$
即:
$AB=\dfrac=\dfrac{5 \times \sin 30^}{\sin 45^}=\dfrac}$
代入数据,即得:
$AC^2=\left(\dfrac}\right)^2+5^2-2 \times \dfrac} \times 5 \times \dfrac}$
$AC^2=\dfrac+25-25=12.5$
因此:
$AC=\sqrt=2.5\sqrt$
结论
余弦定理公式可以帮助我们计算出三角形中任意一边的长度,但在具体运用时,需要结合不同的题目情况进行变形和计算。因此,我们需要熟练掌握余弦定理公式及其变形方法,才能更好地解决三角形相关的问题。
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