对于一个三次方程$a^3-1$，我们可以尝试将其分解因式。首先，我们可以将其看作两个立方数的差，即$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$。

首先，我们来证明$(a-1)(a^2+a+1)=a^3-1$。根据乘法分配律，我们有：

$(a-1)(a^2+a+1)=a^3+a^2+a-a^2-a-1$

$=a^3-1$

因此，我们证明了$(a-1)(a^2+a+1)=a^3-1$。

接下来，我们来解释一下为什么$a^2+a+1$是一个立方数。我们可以将其看作一个完全平方数的形式，即$(a+\frac)^2=a^2+a+\frac$。我们可以发现，$(a+\frac)^3=a^3+\fraca^2+\fraca+\frac$，而$(a+\frac)^3-a^3=(a^2+a+1)$。因此，我们证明了$a^2+a+1$是一个立方数。

最后，我们可以将$a^3-1$分解因式为$(a-1)(a^2+a+1)$。这个公式在代数中有很多的应用，如求根公式和三次方程的解法等。

总之，分解因式是代数学中非常重要的一项技能。对于一个三次方程$a^3-1$，我们可以将其分解因式为$(a-1)(a^2+a+1)$，这个公式在代数学中具有重要的应用价值。