正四面体是一种具有四个等边三角形作为面的多面体，它的每个顶点都与其他三个顶点相连，形成四条等长的棱。正四面体具有许多特殊性质，其中包括它的外接球和内切球的半径公式。

正四面体的外接球是一个与四面体的每个顶点都相切的球形，这个球形的半径被称为正四面体的外接球半径。假设正四面体的边长为a，它的外接球半径为R。我们可以通过对正四面体的各个面进行分析来得到外接球半径的公式。

首先，我们可以将正四面体的一个面分成两个等腰三角形。这两个三角形的底边长为a，而高为R。因此，根据三角形面积公式，每个三角形的面积为S = 0.5 * a * R。考虑到正四面体有四个面，因此它的总表面积为4S = 2aR。另一方面，我们可以使用勾股定理得到正四面体的高的长度，这样我们就可以使用勾股定理计算出正四面体的体积。具体而言，正四面体的高为h = (2 / 3) * R，因此它的体积为V = (1 / 3) * S * h = (1 / 3) * a^3 * sqrt(2)。

正四面体的内切球是一个与四面体的每个面都相切且位于四面体内部的球形，这个球形的半径被称为正四面体的内切球半径。假设正四面体的边长为a，它的内切球半径为r。我们可以通过对正四面体的底面进行分析来得到内切球半径的公式。

首先，我们可以将正四面体的底面分成四个等边三角形。每个三角形的高为r，底边长为a。因此，根据三角形面积公式，每个三角形的面积为S = 0.5 * a * r。考虑到正四面体有四个三角形，因此它的总表面积为4S = 2sqrt(3) * a^2 * r。另一方面，我们可以使用勾股定理得到正四面体的高的长度，这样我们就可以使用勾股定理计算出正四面体的体积。具体而言，正四面体的高为h = (2 / 3) * r * sqrt(3)，因此它的体积为V = (1 / 3) * S * h = (1 / 12) * sqrt(2) * a^3。

综上所述，正四面体的外接球半径和内切球半径的公式分别为R = a * sqrt(2) / 2和r = a * sqrt(6) / 12。这两个公式对于计算正四面体的各种属性，如表面积和体积，都非常有用。