最大公因数和最小公倍数是初中数学中非常基础而重要的概念。在求最大公因数和最小公倍数时，我们需要了解两个数的因数和倍数的概念。

首先，我们来看最大公因数。最大公因数指的是两个或多个数中，能够同时整除这些数的最大正整数。求最大公因数的方法有多种，其中最常见的方法是辗转相除法。

辗转相除法的基本思想是：用一个数去除另一个数，再用余数去除上一个数，如此重复，直到余数为零，此时最后一个除数就是这两个数的最大公因数。例如，求 42 和 30 的最大公因数，我们可以按照以下的步骤进行：

1. 用 42 除以 30，得到商 1，余数 12。

2. 用 30 除以 12，得到商 2，余数 6。

3. 用 12 除以 6，得到商 2，余数 0。

4. 因为余数为零，所以最大公因数为 6。

接下来，我们来看最小公倍数。最小公倍数指的是两个或多个数中，能够同时被这些数整除的最小正整数。求最小公倍数的方法也有多种，其中最常见的方法是分解质因数法。

分解质因数法的基本思想是：将两个数分别分解质因数，然后将它们的公共因数和非公共因数相乘，得到的积就是这两个数的最小公倍数。例如，求 24 和 36 的最小公倍数，我们可以按照以下的步骤进行：

1. 将 24 和 36 分别分解质因数，得到 24 = 2^3 × 3，36 = 2^2 × 3^2。

2. 找出它们的公共因数和非公共因数。公共因数为 2^2 × 3，非公共因数为 2 × 3^2。

3. 将公共因数和非公共因数相乘，得到的积 2^2 × 3^2 × 2 × 3 = 2^3 × 3^2 × 3 = 216，即为最小公倍数。

最大公因数和最小公倍数是数学中非常基础而重要的概念，它们在数学的各个领域都有广泛的应用。掌握它们的求法，有助于我们更好地理解和应用数学知识。