柯西不等式是数学中的一个重要定理，它涉及到线性代数中的内积和向量的概念。在实际应用中，柯西不等式被广泛应用于概率论、统计学、物理学等领域。

柯西不等式的常用公式如下：

1. 向量内积公式：对于任意两个向量a和b，它们的内积可以表示为|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角。

2. 向量模长公式：对于任意一个向量a，其模长可以表示为|a|=√(a1^2+a2^2+...+an^2)，其中a1,a2,...,an分别表示向量a的各个分量。

3. 柯西不等式：对于任意两个向量a和b，它们的内积不超过它们的模长的乘积，即|a·b|≤|a||b|。

4. 柯西-施瓦茨不等式：柯西不等式的一种特殊情况，当且仅当向量a和b线性相关时取等，即|a·b|=|a||b|cosθ，其中θ=0或π。

5. 三角不等式：对于任意两个向量a和b，它们的模长之和不小于它们的差的模长，即|a|+|b|≥|a-b|。

以上公式都是柯西不等式的重要体现，它们在求解向量的内积、模长以及向量之间的关系时非常有用。在高等数学、线性代数等学科中，学生们经常需要掌握和运用这些公式。