指数函数是一种形如$f(x) = a^x$的函数，其中$a$为底数，$x$为指数。在微积分中，求导是一项基本的操作，而指数函数的导数也是常见的求导问题。

要推导指数函数的导数，我们首先需要了解指数函数的一些性质。其中最重要的是底数为$e$的自然指数函数$e^x$，它有一个特殊的性质：它的导数等于它本身，即$\frac(e^x) = e^x$。

基于这个性质，我们可以推导出任意底数的指数函数的导数。假设$f(x) = a^x$，那么：

$$\ln f(x) = \ln(a^x) = x\ln a$$

接下来对这个式子求导：

$$\frac(\ln f(x)) = \frac(x\ln a)$$

由于$\ln f(x) = \ln(a^x)$，我们可以利用链式法则将左边的导数转化为$f(x)$的导数乘以$f(x)$对$\ln$的导数：

$$\frac\frac(f(x)) = \ln a$$

移项得到$f(x)$的导数：

$$\frac(f(x)) = f(x)\ln a = a^x\ln a$$

这就是任意底数的指数函数的导数公式。

需要注意的是，当底数为$e$时，$a^x$可以写成$e^$的形式，因此它的导数可以写成：

$$\frac(a^x) = \frac(e^) = e^\ln a = a^x\ln a$$

这与之前的推导结果一致。

总结一下，指数函数的导数可以通过对$\ln$函数的链式法则求导得到，任意底数的指数函数的导数公式为$f(x)\ln a$，其中$f(x) = a^x$，底数为$e$时的导数公式为$a^x\ln a$。