对称行列式是线性代数中的一个重要概念，它在很多数学问题中都有着广泛的应用。然而，计算对称行列式却常常需要耗费大量的时间和精力。在这篇文章中，我们将介绍一种简便的方法来计算对称行列式。

首先，我们来回顾一下对称行列式的定义。对于一个$n\times n$的矩阵$A=[a_]$，它的对称行列式定义为：

$$\begin a_ & a_ & \cdots & a_ \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end$$

其中，$a_$表示矩阵$A$的第$i$行第$j$列的元素。对称行列式的计算通常需要使用行列式的定义式，即按照每行或每列展开计算。这种方法虽然可行，但是当矩阵规模较大时，计算量就会变得非常庞大。

为了简化对称行列式的计算，我们可以利用矩阵的特殊性质——对称性。由于矩阵$A$是对称的，因此它的第$i$行和第$i$列是相等的，即$a_=a_$。利用这个性质，我们可以将对称行列式表示为以下形式：

$$\begin a_ & a_ & \cdots & a_ \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end=\begin a_ & a_ & \cdots & a_ \\ 0 & a_-a_ & \cdots & a_-a_ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_-a_ & \cdots & a_-a_ \end$$

这个等式的证明可以通过对矩阵按照第一行展开，或者通过矩阵的初等变换得到。不过在这里我们不再展开。

现在，我们可以利用上述等式来简化对称行列式的计算。具体地，我们可以按照以下步骤进行：

1. 将第一列的元素除以$a_$，使第一行第一列的元素变为$1$。

2. 对于第$i$行$(i=2,3,\cdots,n)$，将第$i$列的元素减去$a_$，然后将第$i$行除以$a_-a_$。

3. 对于第$i$行$(i=2,3,\cdots,n)$，将第$i$列的元素乘以$a_$，然后将第$i$行加到第一行上。

4. 将第一行展开，得到对称行列式的值。

这个方法的核心在于将对称矩阵转化为一个上三角矩阵，从而利用上三角矩阵的行列式公式来计算对称行列式。这种方法的优势在于可以大大减少计算量和复杂度，特别是当矩阵规模较大时，效果更加显著。

综上所述，对称行列式是一个非常重要的数学概念，它在很多领域中都有着广泛的应用。通过利用对称矩阵的性质，我们可以简化对称行列式的计算过程，使其更加高效、简便。