新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程教学设计

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新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程教学设计
第二十一章  一元二次方程
21．1  一元二次方程
※教学目标※
【知识与技能】
1.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式.
    2.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
【过程与方法】
1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
    2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式.
    3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.
【情感态度】
    通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
【教学重点】
    一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念．
【教学难点】
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
※教学过程※
一、情境导入
（课件展示问题）雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为x m，则其上部高为(2-x)m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?
二、探索新知
由上述问题，我们可以得到 ，即 .显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.
探究问题1  如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

教师设置如下问题学生讨论：
如果设四角折起的正方形的边长为x cm，则制成的无盖方盒的底面长为多少？宽为多少？由底面积为3600m2可得到的方程又是怎样的？
讨论结果：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，
宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600m2，得(100-2x)(50-2x)=3600.整理，得 .化简得 .由次方程可以得出所切正方形的具体尺寸.
探究问题2  要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
教师提出以下问题，引导学生思考方程的建模过程：
（1）这次比赛共安排多少场？
（2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其他几个队各赛一场？这样共应有多少场比赛？
（3）由此可列出的方程是什么？化简后的方程是什么？
    讨论结果：全部比赛的场数为 .设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 场.列方程 .整理，得 .化简，得 ，即 .
    观察思考，口答下面的问题：
    （1）上面的方程整理后含有几个未知数？
    （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
    （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
    老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
归纳总结
像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
想一想
二次项系数a为什么不能为0？在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c一定是正数吗？
探究问题3  探究问题2中可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，由此可列下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ......
x2-x-56           
由上表可得，当x=8时， ，所以x=8是方程 的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
    学生思考
方程 有一个根为x=8，它还有其他的根吗？
当x=-7时，  ，故x=-7也是方程 的一个根.
归纳总结
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为 ， ．
三、掌握新知
      例1  求证：关于x的方程 ，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
    分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 即可．
    证明：
          ∵ ，
          ∴ ，即 ．
      ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
    例2 将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
    分析：一元二次方程的一般形式是 ．因此，方程 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得 ．
    移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 ．
        其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．
四、巩固练习
    1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（  ）
     ① ,② ,③ ,④ .
      A.1个    B.2个    C.3个    D.4个
    2.已知方程 的一个根是 ，则m的值为________．  
3.关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围是_________.
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
答案：1.A    2.-13   3.a≠1   4.（1） ，其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；（2） ，其中二次项系数为1，一次项系数为12，常数项为-100.

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五、归纳小结
    1.本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
    2.通过这节课的学习，你还有那些收获？
※布置作业※
    从教材习题21．1中选取.
※教学反思※
1.注重知识的前后练习，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
    2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.
4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.


21．1　一元二次方程
01　　教学目标
1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项．
2．理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性．

02　　预习反馈
1．等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．如：下列方程：①1－x2＝0；②2(x2－1)＝3y；③2x2－3x－1＝0；④1x2－2x＝0中，是一元二次方程的是①③．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
3．使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．求方程的解的过程，叫做解方程．
如：下面哪些数是方程x2－x－6＝0的根？－2，3．
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

03　　新课讲授
类型1　一元二次方程的一般形式
例1　(教材P3例)将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
【解答】　去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
【方法归纳】　1.把一元二次方程化为一般形式，就是把一元二次方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．其中，二次项系数、一次项系数、常数项均包括数字前的符号．
2．将一元二次方程化为一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

【跟踪训练1】　方程x2－2(3x－2)＋(x＋1)＝0的一般形式是(A)
A．x2－5x＋5＝0                B．x2＋5x＋5＝0
C．x2＋5x－5＝0                D．x2＋5＝0

【跟踪训练2】　(21.1习题)一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．

类型2　一元二次方程的解的意义
例2　(教材补充例题)关于x的一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a－1＝0的一个根为0，则a＝1．
【思路点拨】　将x＝0代入一元二次方程，得到关于a的方程，解方程即可．注意二次项系数a＋1≠0.
【跟踪训练3】　已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是x＝－a(a≠0)，则a－b的值为(A)
A．－1              B．0            C．1              D．2

04　　巩固训练
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若(p－2)x2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则(D)
A．p＝2                B．p≠0            C．p＞2                D．p≠2
2．把方程(x－2)(x＋2)＋(2x－1)2＝0化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(D)
A．5、－4、6            B．1、－5、0      C．5、－2、1             D．5、－4、－3
3．若x＝3是关于x的方程2x2＋ax－6＝0的一个根，则a的值是－4．
4．根据题意，列出方程(不必解答)：
(1)两个连续整数的积是210，求这两个数；
(2)在一块长250 m、宽150 m的草地四周修一条路，路修好后草地的面积减少1 191 m2，求这条路的宽度．
解：(1)设其中一个整数为x，则另一个整数为(x＋1)，依题意，得x(x＋1)＝210.
(2)设这条路的宽为x m，则(250－2x)(150－2x)＝250×150－1 191.

05　　课堂小结