北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与巩固提高知识点讲解

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北师大版八年级数学下册第六章平行四边形全章复习与巩固提高知识点讲解
【学习目标】
1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.
2.掌握三角形的中位线定理.
3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.
4.积累数学活动经验，发展推理能力.
【知识网络】

【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
    要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
要点二、平行四边形的性质定理
   平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定定理
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：
（1） 这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
要点四、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.

要点五、三角形的中位线
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点六、多边形内角和、外角和
     边形的内角和为( －2)•180°( ≥3)．
要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 ；
    多边形的外角和为360°． 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质与判定
1、（2015•海淀区二模）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．

【思路点拨】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；
（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．

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【答案与解析】
解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，
∴∠BAC=180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠DAE=2α，
∵AE=AD，
∴∠ADE=90°﹣α；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴∠EDC=∠ABC=α，
由（1）知，∠ADE=90°﹣α，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD；
②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE=BF．
∴∠EAC=∠C=α，
由（1）知，∠DAE=2α，
∴∠DAC=α，
∴∠DAC=∠C．
∴AD=CD．
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD．
∴BD=CF．
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意（2）①中证得AD⊥BC是关键，（2）②中证得AD=CD是关键．
举一反三：
【变式】分别以口ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系并证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

【答案】
解：（1）GF⊥EF，GF＝EF成立；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，
∴∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，
∠EAF＝360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD＝270°﹣（180°﹣∠CDA）＝90°＋∠CDA，
         ∴∠FDG＝∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，
∴∠GFE＝90°， ∴GF⊥EF；  
（2）GF⊥EF，GF＝EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，
∴∠BAE＋∠FAD＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，
∴∠EAF＋∠CDF＝45°，
∵∠CDF＋∠FDG＝45°，
∴∠FDG＝∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，
∴∠GFE＝90°，
∴GF⊥EF．
2、如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD＝ AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　）
A．        B．         C．         D．

【答案与解析】
解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，
∵AP BE，
∴四边形APEB是平行四边形，
∴PE∥AB，PE＝AB，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，EF＝BD，
即EF∥AB，
∴P，E，F共线，
设BD＝ ，∵BD＝ AB，∴PE＝AB＝4 ，
则PF＝PE－EF＝3 ，
∵PH∥BC，
∴ ，
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形，
∴BH＝PF＝3 ，
∵ ＝BH：AB＝3 ：4 ＝3：4，
∴ ＝3：4．
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．
举一反三：
【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．

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【答案】
证明：∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠BAC＝90°
∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形，  
∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC ,
∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60°
∴∠1＝∠2
易证△BAC≌△BDF（SAS），
∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90°
同理可证△BAC≌△FEC
∴AB＝AD＝EF＝3
∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
      ∵DF∥AE，DF⊥BD
        延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点
      ∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4× ＝6.
3、在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（　　）
A．2     B．      C．         D．15

【思路点拨】可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
【答案】C；
【解析】
解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB＝5 ，BC＝3 ．
AB边上的高是3 ，BC边上的高是5 ．
则S＝5 •3 ＝3 •5 ．即  ＝  ＝ ．
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C＝ BC＝ ，B2C边上的高是 •5 ＝4 ．
则△AA4D2和△B2CC4的面积是2  ＝ ．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是 ．
则四边形A4B2C4D2的面积是S－ － － － ＝ ，即 ＝1，
解得S＝ ．
【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．
类型二、三角形的中位线
4、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（　　）

A.       B.      C.3       D.4
【答案】C；
【解析】
解：易证△ABQ≌△EBQ, AB＝BE，Q为AE中点，
△ACP≌△DCP, AC＝CD，P为AD中点，
∴PQ∥DE,PQ＝ DE，
∵AB＋AC＋BC＝26，BC＝10，
∴AB＋AC＝BE＋CD＝16＝BD＋DE＋DE＋EC＝BC＋DE，
∴DE＝6，PQ＝ DE＝3.
【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．
类型三、多边形内角和与外角和
5、若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（　　）
         A．180°      B．720°     C．1080°     D．540°
【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据 边形的外角和为360°计算出多边形的边数 ，然后根据 边形的内角和定理计算即可．
【答案】B；

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【解析】
解：设多边形的边数为 ，
∵多边形的每个外角都等于60°，
∴ ＝360°÷60°＝6，
∴这个多边形的内角和＝（6－2）×180°＝720°．
【总结升华】本题考查了 边形的内角和定理： 边形的内角和＝（ －2）•180°；也考查了 边形的外角和为360°．
举一反三：
【变式】（2016秋•小金县校级期末）一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
【答案】解：设内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组 ，
解得 ．
而任何多边形的外角是360°，
则多边形中外角的个数是360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三边形．
6、甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：
（甲） 连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求
（乙） 先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）
A．两人皆正确                   B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误                D．甲错误，乙正确

【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．
【答案】C；
【解析】
解：甲正确，乙错误，
理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是 ＝108°，
AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠DEC＝∠DCE＝ ×（180°－108°）＝36°，
同理∠CBD＝∠CDB＝36°，
∴∠ABP＝∠AEP＝108°－36°＝72°，
∴∠BPE＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A，
∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；
∵∠BAE＝108°，
∴∠BAM＝∠EAM＝54°，
∵AB＝AE＝AP，
∴∠ABP＝∠APB＝ ×（180°－54°）＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°，
∴∠BPE＝360°－108°－63°－63°≠108°，
即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，
∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；
【总结升华】本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．