改郑州市2017-2018上期末高二理数应用题学生试卷后的思考

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【试题呈现】

2017年12月4日0时起郑州市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内。某人为了出行方便，准备购买某品牌新能源汽车。假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．

（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；

（Ⅱ）问这种新能源汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少），年平均费用的最小值是多少？

一、对题目本身的思考

1.  本题考查的知识点：公式法求等差数列前n项和；基本不等式的实际应用。从知识点的考查上看是一道糅数列和基本不等式为一体的好模型。

2. 题干的设计与编制：题目在题干的编制上紧跟今年郑州市的时事事件——机动车限行问题，让学生感觉这就是我们生活中的问题，而且机动车对老百姓的家庭来说很常见，学生很熟悉，又关系到大气污染因而限制除新能源外的机动车出行。让学生用数列知识解决使用n年所花费的总费用，做到心中有数，用基本不等式知识处理使用多少年报废最合算、最少的年平均费用具体数额问题，不仅考查了学生对知识的掌握和灵活使用问题，还给学生树立了一种用数学思考和解决生活问题的意识。

3. 题干存在的严谨性问题：为进一步降低机动车污染物排放、减轻重污染天气污染发生频次和污染程度，河南省郑州市启动机动车单双号限行措施。郑州市2017年12月份对机动车的限行时间规定为12月4日0时至12月31日24时。而从2018年1月1日起郑州市对机动车的限行政策又有变动：

2018年郑州限行规定



按机动车号牌(含临时号牌和外地号牌)最后一位阿拉伯数字(尾数为字母的，以末位数字为准)，工作日每天限行两个号。



周一限行：号牌最后一位阿拉伯数字为1和6的机动车



周二限行：号牌最后一位阿拉伯数字为2和7的机动车



周三限行：号牌最后一位阿拉伯数字为3和8的机动车



周四限行：号牌最后一位阿拉伯数字为4和9的机动车



周五限行：号牌最后一位阿拉伯数字为5和0的机动车



因法定节假日放假调休而调整为上班的周六、周日，按对应调休的工作日限行。

但题干却粗略地表述为：2017年12月4日0时起郑州市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内。

数学源于生活，又服务于生活。作为一年一度的大型期末考试，试题的编排应追求贴合学生生活且不失严谨。数据最好再重新编制一下，如果有拿着手机作弊的同学，上网一艘便能搜到原班数据试题。最好不给这样的学生留机会。



二、由批阅的试题卷发现的问题

（一）标准答案





（二）学生答卷诊断

从批改过的四百余份试题卷中，我发现导致失分的原因有以下几种：

1. 建模问题

1）不能准确抽象出题目所蕴含的模型



症状描述：

1.该生将汽车每年的保养维修费错当成使用n年每年的平均保养维修费

2.年平均使用费用问题错当成使用n年的费用之和

原因诊断：

对应用题的理解能力弱，模型意识不清，建模能力差。
2）对模型的把握不准确





症状：

错将第一问使用n年的总费用当成年平均费用来求其最小值；

诊断：

可能原因怀疑审题不清或是模型意识不清。




症状：

乍看上去这会是一份漂亮的满分卷——字体工整，条理清晰，知识点也明白。但却在第一步列使用总费用时就出错了。很遗憾只得了1分（换个人或许就没有一分得了）。保养费写的很清楚：0.2n，但错将每年的使用费用当作（0.9n+0.2n）！

诊断：

怀疑可能是不理解题意，也可能是函数意识不强——如果每年的费用上都带了n（已经是变化了的量），再乘以年数n是什么个意思？



2. 审题不准问题



症状：

错将每年应交付的保险费充电费等费用共0.9万元当成使用n年的总费用，遗憾地将第一问的表达式写错。

诊断：

怀疑是审题马虎。




3. 公式记忆不准问题





诊断：很明显等差数列前n项和公式记忆错误。

4.公式不会用问题


症状：

没有应用基本不等式求出最少费用。

诊断：

怀疑公式就不知道或是根本不会用。很遗憾！

5.计算不准问题




症状：

运用基本不等式求最值时计算出错！

诊断：

原因很明显：10明明在分母上，14.4应该除以10得1.44，而该生得了个144！


症状及原因合并诊断：2.4+1=2.5！我们的孩子们啊！真是一数一分啊！



5. 解答题的过程表达问题

解答题是考查考生思维条理和逻辑性很好的载体。有些孩子能将过程抽象得简约又条理，而有些孩子虽然也能得满分，但写了很多可以省去的过程。

我们一起来欣赏：