论勾股定理的教育功能

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论勾股定理的教育功能

重庆市巴南区教科所　邹仁福　重庆市教科院数学组　张晓斌

如何以数学学科内容对学生进行素质教育，是摆在我们每一个数学教师面前的一项重大研究课题。勾股定理是漫漫数学长河中一个非常重要的定理之一，我们在数学教学中通过对勾股定理的教育功能的探讨，以期落实素质教育的实施。我们还认为，对一个定理以及教育因素的充分挖掘，可以起到以点带面的示范作用。 一、文化功能 勾股定理是一条古老的数学定理。不论什么国家、什么民族，只要是具有自发的（不是外来的）古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理。 据史书记载，大禹治水与勾股定理有关，禹在治水的实践中总结出了勾股术（即勾股的计算方法）用来确定两处水位的高低差。可以说，禹是世界上有史记载的第一位与勾股定理有关的人。另外，有名的赵州桥的大桥孔直径的计算以及现在还流行在民间木匠手中的角尺（用于确定直角的用具）都直接和勾股定理有关。更有趣的是我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场和发展》一文中谈到了想象中的首次宇宙“语言”，就提出把“数形关系”（勾股定理）（见下图）带到其它星球，作为地球与其它星球上的“人”进行第一次“谈话”的语言。                               可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。 二、德育功能 1．由勾股定理的产生对学生进行爱国主义教育。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在4000多年以前，我国人民就应用了这条定理。我国最早的一部数学及天文著作《周髀算经》记载了这个定理，该书称直立着的标竿为“股”，地面上的日影为“勾”，斜边为“弦”。于是这个定理可记为：勾2＋股2＝弦2。这就是勾股定理的来历。《周髀算经》一开始就记载了公元前1100年西周时周公与商高的一段对话，商高说：“勾广三，股修四，径隅五。”即是“勾三、股四、弦五”。我国一直把它叫做商高定理或勾股弦定理，后来简称勾股定理。 据西方国家记载，古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前550年前首先证明了这个定理。因此，国外称这个定理为毕达哥拉斯定理。可见，我们的祖先商高提出这个定理的时间比毕达哥拉斯早550多年，而夏禹则更要早1000多年了。这样学生的爱国之情就会油然而生，增强了民族自豪感，有效地对学生进行了爱国主义教育。     2．利用勾股定理的证明方法和它的应用，对学生进行辩证唯物主义观点教育。 证明勾股定理的剖分法、拼补法、拼拆法等，都渗透着进与退、分与合、动与静、变与不变、数与形、正向与逆向、一与多等的辩证思想方法。下面我们看一个运用勾股定理运解决的典型题目：a，b，c，d都是正数，证明：存在这样的三角形，它的三边分别为，，。并计算这个三角形的面积。 分析：如果要利用三线段构成三角形三边的充要条件来判定满足题设条件的三角形的存在性，不是容易的。再用海伦公式根据三边计算这个三角形面积就更使人望而生畏了。如果注意到，，的特点，就会点燃思维的火花，考虑利用勾股定理把这三条线段构作出来。 如图所示，以，为边画一个矩形。满足题设条件的三角形跃然纸上，它的存在性也就自明了。 所求三角形的面积为： （）（）。                            这个巧妙解答过程充分展示了数与形、直接与间接的相互转化的辩证思想。 3．由勾股定理到发现无理数，进而到证明费尔马大定理，培养学生献身科学、追求真理的精神。 在两千多年前古希腊数学家毕达哥拉斯的学生希伯斯发现：边长等于1的正方形，它的对角线的长既不是整数，也不是分数。希伯斯经过精心研究，勇敢地断定，这是一个人们还不认识的新数，这个新数就是。希伯斯这一大胆的发现，推翻了他老师毕达哥拉斯的论断：“世界上只有整数和分数，除此之外，就再也没有别的什么数了。”希伯斯为此被他的无知同学扔到了地中海活活地淹死，为追求真理而献出了他的年轻生命。无理数的出现，正是开拓出新数系的结果，使得原先封闭稠密的有理数系发展为更大、更新、更完美的连续的实数系。 我们再对作进一步的讨论，就引出了方程的求解问题，这就是世界著名的数学难题——费尔马大定理。1637年，法国业余数学家费尔马从勾股数的讨论中得到启发：“当n大于2时，使成立的正整数组是不存在的。”费尔马还在他的手稿空白处写道：“我已经找到了这个定理的绝妙的证明方法，但是，这里的空白处太窄了，写不下。”这个批注是他的儿子在整理费尔马的遗稿后于1670年公布于众的。 自费尔马大定理被提出的那一天起，就一直吸引着广大数学家的注意力。人们把它看作是对人类智慧的挑战，或许正是如此，使得一代又一代的数学家为了解决费尔马大定理而呕心沥血，奋斗终生。1993年6月，一个令人心醉的消息震动了数学界，英国数学家A· Wiles在剑桥大学宣布证明了费尔马大定理。其间他勇敢地承认了证明中的某些错误，不久他又用另外的方法彻底解决了证明中的问题，终于在1994年10月25日数学界的专家们完全承认了证明的正确性。于是A· Wiles获1996年的国际数学大奖wolf奖，1997年6月还获得悬赏100年内解决费尔马大定理的Wolfskehl奖。 问题是数学的心脏，重大问题的解决是数学发展的强大动力，费尔马问题研究的350年的历程显示了数学发展的基本法则：问题产生——问题解决——产生新的方法和理论——提出新的问题，由此进入新的循环。我们在数学教学中也应引导学生历经一些磨难，象数学家们那样探索学习数学新知识。 综观希伯斯和A· Wiles及他同事们的工作，证明人类的智慧是伟大的，是可以战胜自然界的挑战的，需要我们不断地去探索、去学习、去追求、去奋斗不止。 三、智育功能 1．以生动的数学史料揭示课题——勾股定理，激发学生学习的兴趣和求知欲。《周髀算经》中记载着，禹和商高已经知道用边长为3：4：5构成直角三角形，这作为勾股定理特例的出现，为勾股定理的形成作了准备。《周髀算经》中还有更精彩的描述：“若求邪至日，以日下为勾，日变为股，勾、股各相乘，并而开方除之，得邪至日。”这已经就是一般的勾股定理了。 2．通过探讨勾股定理的证明方法，培养学生的思维能力，深刻理解和掌握勾股定理。全日制初中义务教育数学教材（人教版）一共介绍了六种证法，让学生开阔眼界，并让他们感受到我国古代数学家赵爽利用勾股方圆图证明勾股定理是多么巧妙，是多么的简捷。“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，信之，为朱实四。以勾股之差自乘为中黄实，变成弦实。”用式子写出来即是：，即。融几何知识与代数知识于一体，真可谓独县匠心。 勾股定理除了教材中介绍的六种证法外，还有许多巧妙的证明，E·S·Loomis，The Pythag orean Proposition 一书作者收集了该定理的370种不同证法。我们可以从这些证法中归纳出以下几种证明的思考途径。① 剖分法（剖分为若干全等的多边形），如教材中读一读的证明方法。② 拼补法（补入若干全等三角形之后全等）。③ 拼拆法（在全等形上拆去若干全等形），如教材中介绍的勾股定理的第一种证明方法。④ 不剖、不拼、不拆，如直接利用相似三角形的面积性质获得证明。 3．通过对勾股定理的引申——勾股数的介绍，培养学生的创新意识和创造能力。勾股定理的变形式以及逆定理在数学中的广泛运用，可以开启学生心智，达到训练思维的目的。教材中已有大量的素材，这里我们不再赘述。我们想通过对勾股数的认识，既深化理解勾股定理，又丰富我们的知识，拓宽我们的视野。所谓勾股数就是指能使等式成立的任何三个自然数。 古往今来有无数的数学家从事勾股数的研究。显然，想轻而易举的求出若干组勾股数是困难的。我国著名数学家刘徽在《九章注》（即公元263年）中记载了很多勾股数。数学史家指出刘徽实际证明了以下定理： 不定方程          （1） 使（，）的自然数解必定，一奇一偶，不妨假定偶，则，，，，（，），、一奇一偶。反之满足上面条件的，，是（1）的解。 这个定理的证明不必向学生介绍，但是它给出了一种求勾股数的方法。如令，，则，，。显然是一组勾股数。 经过计算，由此可得下列勾股数： （3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（11，60，61），（12，35，17），（13，84，85），（15，112，113），…… 我们还很容易证明：若，，是（1）的自然数解，则，，（）也是（1）的自然数解。那么上面的每组勾股数的（）倍也都是勾股数。 进而引导学生从这些勾股数可以发现一些有趣的性质： （1）每组勾股数中，勾与股都不相等。 （2）每组勾股数中，勾与股必有一个是2的倍数，3的倍数，4的倍数。 （3）每组勾股数中，勾、股、弦必有一个是5的倍数。 经细心分析，不难推出： ① 用任意大于1的奇数，可迅速构成一组勾股数：，，。 ② 用任意大于2的偶数，可迅速构成一组勾股数：，，。 故归纳总结得：任意大于2的自然数均可得到一组勾股数。 当勾为奇数时，股和弦是两个连续的自然数，，且其弦也是奇数。 当勾为偶数时，股和弦是连续的奇数或连续的偶数，。 通过以上对勾股数的讨论，从未知到已知，从离散到连续，从实践到理论，再回到实践，无处不贯穿唯物辩证的认识论和方法论，而且增强了学生不断探索进取的意识，培养了他们的创新能力。 四、美育功能 我国著名数学家徐利治先生认为：“数学美包括数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学的奇异性。”我们认为，勾股定理具有这些数学美。 “勾方加股方等于弦方”寥寥九字，却揭示一切不同形状、不同大小的无穷多个直角三角形三边之间的本质属性，体现了统一、概括、语言美。当它用表达时，则更加简洁明了并为全世界中学生所理解，体现了简单、精练、科学美。它的许多精巧的构图证明，体现了奇异、和谐、对称美。勾股定理和它的逆向应用以及我们对勾股数的探讨，都无不显示出数学这一审美客体所蕴涵的无穷无尽的魅力。有意让学生在勾股定理的学习中去发现和感受数学美，表现和创造数学美，将会收到意想不到的效果。 在勾股定理的教学中，一个生动的模型，一个妙趣横生的引入，一个精巧的比喻，一个引人入胜的故事，一个美妙的结论，一个个巧妙的证明，都能使学生终身难忘。它可使消沉者振奋，使厌学者好学，使落伍者猛进。 通过对勾股定理的教育功能的探讨，我们看到，只要深入挖掘数学教材中的概念、定理（法则）、公式、例习题等的教育因素，就可以培养学生刻苦钻研的精神，顽强拼搏的毅力，锲而不舍的个性品质。还能训练学生抽象的逻辑思维，形成严密、认真、细致的思维方式和习惯，使学生逐渐具有创造性思维能力。这样全面地对学生进行教育，一定会出现符合21世纪要求的一代新人。 参考文献： 1.夏树人、孙道杠，中国古代数学的世界冠军，重庆出版社，1984年版。 2.华罗庚，华罗庚科普著作选集，上海教育出版社，1984年版。 3.张广祥，现代数学思想概论，重庆西南师大数学系编印教育硕士课程讲义，1999年。 4.王尚志，A·Wiles证明了Fermat大定理，中学生数学，1997（10）：19。