学数学趣题巧算百题百讲百练--杂题部分

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小学生的课外数学活动，包括一些数学竞赛活动，极大地提高了小学生学习数学的兴趣和热情。通过参加各种数学课外活动，提高了学生思维和探索能力。杂题中选编的例题，更突出了小学数学知识的综合运用。有的题涉及一点小学尚未学习的知识，但是学生还是可以理解的，题中介绍的各种解法，小学生应该掌握。
　　例84 将奇数1、3、5、7、9、……按下表排成五列。



　　例如，13排在第2行第2列，25排在第4行第4列。那么1993排在第几行第几列？

　　分析与解 首先要算出1993这个数是这列数中的第几个数。


　　由上表可看出，每行有4个数，而997÷4=249……1。就是说第997个数是第250行中最小的一个。偶数行的数是从小到大依次排在第4、3、2、1列的，因此1993这个数排在第250行第 4列。

　　例85 在自然数中有很多三位数，其中三个数字之和是5的倍数的三位数共有多少个？

　　分析与解 要想求出三个数字之和是5的倍数的三位数共有多少个，不妨按从小到大的顺序把这些数写出来：104、109、113、118、122、127、……显然，用这种寻找答案的方法是可以的，但是太费时间了。

　　我们可以按下面的思路去思考。

　　

　　这10个连续的三位数的三个数字之和,也正好是10个连续的自然数。例如，A=1，B=2，那么上面写出的10个连续的三位数的三个数字之和为3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。其中有而且只有两个三位数的三个数字之和是5的倍数。

　　从100～999，这些三位数共900个，每10个连续三位数为一个“数段”，一共可以分成90个“数段”。而每10个连续的三位数中有而且只有2个三位数的三个数字之和是5的倍数，所以在所有的三位数中共有 2×90=180个三位数，它们的三个数字和是5的倍数。

　　答：三位数中三个数字之和是5的倍数的共有180个。

　　例86 有一串数 1、4、9、16、25、26、49、……它们是按一定的规律排列的。那么左起第1994个数比第1993个数大多少？

　　分析与解 仔细观察这串数各数的特征不难发现，这串数是从1开始的自然数的平方数，即12、22、32、42、52、62、72、……

　　进而比较相邻两数之差，可以发现

　　4-1=22-12=2+1

　　9-4=32-22=3+2

　　16-9=42-32=4+3

　　25-16=52-42=5+4

　　由此可以推得，左起第1994个数比第1993个数大

　　1994+1993=3987

　　答：左起第1994个数比第1993个数大3987。

　　例87 有一列数 1、2、4、7、11、16、22、29、……这列数左起第1994个数除以5的余数是多少？

　　分析与解 观察这一列数，我们发现它排列的规律是：第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；……依次类推。这样我们就可以先求出第1994个数是几，再算出这个数除以5的余数是多少了。

　　左起第1994个数是

　　1+1+2+3+…+1993

　　

　　=1+1987021

　　=1987022

　　再计算1987022除以5的余数，得到余数是2。

　　也可以这样思考：

　　根据这列数排列的规律，我们先列出前15个数，然后再算一下这15个数被5除的余数。列表如下：



　　从上表可以看出、第1、2、3、4、5五个数被5除的余数，与第6、7、8、9、10五个数被5除的余数对应相同、也与第11、12、13、14、15五个数被5除的余数对应相同。由此得出，这一列数被5除的余数，每隔5个数循环出现。

　　因为1994=5×398+4，所以第1994个数被5除得到的余数，与第四个数除以5得到的余数一样，也就是余数为2。

　　答：这列数左起第1994个数除以5得到的余数是2。

　　例88 有1994名同学按编号从小到大排成一排，令奇数号位（1号位、3号位……）上的学生离队。余下的同学顺序不变，再令其中站在新编号为奇数号位上的同学离队。依次重复上面的做法，那么最后留下来的同学，在开始时是排在第几号位上的？

　　分析与解 依照题中所说的做法，第一次令奇数号位上的同学离队后，余下的同学，开始时编号是2（21×1）、4（21×2）、6（21×3）、……、1994（21×997），再令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，剩下的同学开始时的编号是4（22×1）、8（22×2）、12（22×3）、16（22×4）、……、1992（22×498）

　　依次类推，第9次令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，剩下的同学开始时的编号是29×1，29×2，29×3。

　　第10次令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，只剩下一个同学，他开始时的编号是：210×1，即1024。

　　答：最后留下来的同学，在开始时是排在第1024号位上的。

　　例89 把乒乓球装在6个盒中，每盒装的个数分别为1个、3个、9个、27个、8l个、243个。从这6盒中，每次取其中1盒，或取其中几盒，计算乒乓球的个数之和，可以得到63个不同的和。如果把这些和从小到大依次排列起来，是1个、3个、4个、9个、10个、12个、……，那么第60个和是多少个？

　　分析与解 首先应该想到，不能用从取1盒、取2盒、……去计算乒乓球个数之和的办法，去寻找第60个和是多少个。根据题意，第63个兵乓球个数之和是很容易计算出来的，而第60个兵乓球个数之和与它相差不多，例推回去，就可以得出结果了。

　　根据已知，第63个乒乓个数之和是

　　1+3+9+27+81+243=364

　　于是第62个乒乓球个数之和应该是

　　364-1=363

　　第61个乒乓球个数之和应该是

　　364-3=361.

　　第60个乒乓球个数之和应该是

　　364-3-1=360

　　答：第60个乒乓球个数之和是360。

　　例90 有甲、乙、丙、丁四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，这四个人年龄的乘积是48384。这四个人的年龄各是几岁？

　　分析与解 题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。

　　48384=28×33×7

　　=（22×3）×（2×7）×24×（2×32）

　　=12×14×16×18

　　由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

　　也可以这样想：

　　由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0，显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。

　　又因为104＜48384，而 48384＜204，所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

　　答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

　　例91 把分母为60的最简假分数从小到大排列，第1994个分数是几分之几？

　　分析与解 直接求出第1994个假分数是几分之几，是不大容易的。我们不妨换一下思考的角度，那就是将假分数化成带分数去思考，求出第1994个带分数是几又几分之几，再把这个带分数化成假分数就可以了。

　　由于分母是60的最简真分数共有16个，把它们从小到大排列起来，依

　　由此可知，分母为60的最简假分数化成带分数后，由小到大依次排列，

　　因为1994÷16=124……10，所以第1994个带分数的整数部分是

　　答：第1994个最简假分数是7537/60。

　　例92 有 A、B、C、D、E五个小足球队参加足球比赛，到现在为止，A队赛了4场，B队赛了3场，C队赛了2场，D队赛了1场。那么E队赛了几场？

　　分析与解 把参赛的五个球队看成平面上不在同一条直线上的五个点，并且没有3个点在一条直线上。这样每两队比赛了1场，就可以用相应的两点间连一条线段来表示。根据各队比赛过的场次可画成图55。



　　从上图不难看出，E队赛了2场。

　　答：E队赛了2场。

　　例93 有4个不同的自然数a、b、c、d，而且a＜b＜c＜d。又知道a比b小5，d比c大7，这四个数的平均数是 17，那么d最大是多少？最小是多少？

　　分析与解 题中告诉我们，四个数的平均数是17，那么这四个数的和就是17×4=68。

　　题中问d最大是多少。要使d最大，那么a就要尽量小。因为这四个数都是自然数，所以a最小为1。又因为a比b小5，所以这时b为6。这样不难求出这时c与d的和是68-1-6=61。题中又告诉我们，d比c大7，这样就可以求出这时d是61+7/2=34，即d最大是34。

　　那么d最小是多少呢？

　　题中告诉我们，a比b小5，d比c大7，a、b、c、d四个数之和是68，而68+5+7之和正好是b与d的和的2倍，因此b与d的和是（68+5+7）÷2=40。要使d最小，那么a、b、c就要尽量大，而b与c的差应该尽量小，而b与c的差最小是1，这样b与d之差就是1+7=8。由此得出d最小是：40+8/2=24

　　答：d最大是34，最小是24。

　　例94 一个正方体有六个面，分别用字母A、B、C、D、E、F表示。图56是从三个不同角度看到的这个正方体的部分面的字母。那么这个正方体到底哪个面与哪个面相对？



　　分析与解 观察题中给出的三个图，不容易看出哪个面与哪个面相对。那就换一种思考方法，看看哪个面不对着哪个面，从而得出哪个面与哪个面相对的正确结论。

　　观察图（1）可知，A面不对着D面、E面；观察图（2）可知，A面不对着B面、F面。由此得出，A面一定对着C面。

　　再观察图（2），可以知道，F面不对着A面、B面；观察（3）可以知道，F面不对着C面、D面。那么F面一定对着E面。

　　这样剩下的B面一定对着D面。

　　答：这个正方体的A面对着C面；B面对着D面；E面对着F面。

　　例95 一次乒乓球比赛，共有512名乒乓球运动员参加比赛。比赛采用淘汰制赛法，两个人赛一场，失败者被淘汰，将不再参加比赛；获胜者进入下轮比赛，如此进行下去，直到决赛出第一名为止。问这次乒乓球比赛一共要比赛多少场？

　　分析与解 如果这样去想，第一轮512名运动员参赛，要赛256场；第二轮256名运动员参赛，要赛128场；……直到决赛出第一名为止，再将各轮比赛场次加起来，计算出一共要比赛多少场。这种方法是可以的，不过太复杂了。

　　如果按下面的思路思考，那就简单得多了。

　　根据题中所说，比赛采取淘汰制，每比赛一场淘汰掉1人，到最后决赛得出第一名，只有这第一名未被淘汰。也就是说，512名运动员参赛，有511人被淘汰。淘汰一个人就要赛一场，所以这次乒乓球比赛一共要进行511场比赛。

　　答：这次乒乓球比赛，一共要比赛 511场。

　　例96 一只杯子里装着红葡萄酒，一只杯子里装着白酒，都是300毫升。现在从装着红葡萄酒的杯中倒出30毫升红葡萄酒与白酒混合，混合均匀后，再从混合的酒中取出30毫升倒回装红葡萄酒的杯中，每个杯中的酒仍然是300毫升。问这时是红葡萄酒杯中的白酒多呢？还是白酒杯中的红葡萄酒多呢？

　　分析与解 解答这题不应从具体数量上分析入手，因为那样计算就太复杂了。

　　根据题中条件，红葡萄酒和白酒的数量都是300毫升，我们用V表示。白酒中红葡萄酒的含量用a表示，红葡萄酒中白酒的含量用b表示。于是白酒杯中的酒是

　　V=（V-b）+a

　　红葡萄酒杯中的酒是

　　V=（V-a）+b

　　因此，（V-b）+a=（V-a）+b

　　那么 a-b=b-a

　　2a=2b

　　所以 a=b

　　这就是说，白酒里的红葡萄酒与红葡萄酒里的白酒是一样多的。

　　当然题目还可以改为：“不等混合均匀，又倒回30毫升”，那该是怎样的结果呢？

　　这个问题的回答是：结果与前面完全一样，其中的道理也就不用再说了。

　　答：红葡萄酒中的白酒与白酒中的红葡萄酒一样多。

　　例97 甲盒中有1993个白棋子和1994个黑棋子，乙盒中有足够多的黑棋子。现在每次从甲盒中任取2个棋子放在外面。如果被取出的2个棋子是同颜色的，就从乙盒中取1个黑棋子放入甲盒；如果取出的2个棋子是不同颜色的，便将那个白棋子再放回到甲盒中去。这样经过3985次取、放之后，甲盒中还剩下几个棋子？它们是什么颜色的？

　　分析与解 根据题意，甲盒中共有1993+1994= 3987（个）棋子。每次取出2个棋子后又放回到甲盒中1个棋子，实际每次取、放后，甲盒中减少1个棋子。因此，经过3985次取、放后，甲盒中还剩下3987-3985=2个棋子。

　　根据题中所说的取、放方法，每次取、放之后，甲盒中要么减少1个黑棋子，要么减少2个白棋子增加1个黑棋子。显然，甲盒中的白棋子总是两个两个地减少。而甲盒中有1993个白棋子，那么，最后必定剩下1个白棋子。另外剩下的那个棋子一定是黑色的。

　　答：甲盒中还剩下2个棋子，1个白色的，1个黑色的。

　　例98 某市电话403局的各户电话号码是4030000～4039999。那么除局号外其余4个数码中的前两个数码之和与后两个数码之和不相等的电话号码共有多少个？

　　分析与解 我们知道，403局的电话号码0000～9999，共有10000个号码。而前两个数码之和与后两个数码之和相等的号码的个数，比前两个数码之和与后两个数码之和不相等的号码的个数少得多。因此，要求前两个数码之和与后两个数码之和不相等的电话号码的个数，应该先求出前两个数码之和与后两个数码之和相等的个数，再从 10000中减去这个数，所得的结果就是题目所要求的电话号码的个数了。

　　那么除局号外，在其余4个数码中，前两个数码之和与后两个数码之和相等的号码有多少个呢？

　　我们知道，在这些号码中，两个号码之和最小的是0，最大的是18。

　　前、后两个数码之和为0的，只用到数字0，即0000。前、后两个数码之和为18的，只用到数字9，即9999。显然，前、后两个数码之和为0或18的，都只用到1个数字，各有1个号码。

　　再看前、后两个数码之和为1的情况。这时只用到0和1两个数字，它们是0101、0110、1010、1001，共4个号码。前、后两个数码之和为17的，只用到8和9两个数字，它们是

　　8989、8998、9898、9889，共4个号码。显然，前、后两个数码之和为1或17的，都用到2个数字，各有4个号码。

　　我们再看看前、后两个数码之和为2的情况。这时只用到0、1、2三个数字，它们是0202、0220、2020、2002、1102、0211、2011、1120、1111，共9个号码。前、后两个数码之和为16的，用到 7、8、9三个数字，它们是7979、7997、9797、9779、8879、7988、8897、9788、8888，共9个号码。显然，前、后两个数码之和为2或16的，都用到3个数字，各有9个号码。

　　从以上列举的三种情况看，我们发现，前、后两个数码之和相等的号码，如果用到1个数字，就有1个号码，即12个；用到2个数字，就有4个号码，即22；用到3个数字，就有9个号码，即32个。

　　前面已经说了，前、后两个数码之和最小的是0，最大的是18，共有19种情况。我们把这19种情况，即用到数字的个数及号码的数，列成下表。



　　从上表不难看出，前两个数码之和与后两个数之和相等的号码共有

　　（12+22+32+42+52+62+72+82+92）×2+102

　　=（1+4+9+16+25+36+49+64+81）×2+100

　　=285×2+100

　　=570+100

　　=670（个）

　　于是得出，除局号外，在其余的四个数码中，前两个数码之和与后两个数码之和不相等的电话号码共有

　　10000-670=9330（个）

　　答：前两个数码之和与后两个数码之和不相等的电话号码共有 9330个。

　　例99 用红、黄、蓝三种颜色把图57中8个圆圈涂上颜色，每个圆圈只许涂一种颜色，并且有连线的两端的圆圈不能涂上相同的颜色，那么共有多少种不同的涂法？



　　分析与解 根据题中条件，首先要想到中间菱形的四个圆圈连线最多，应该从这里开始思考。为了说明方便，先用字母表示图中各圆圈，如图58所示。

　　假如在A圆圈内涂红色，那么B、C、D三个圆圈的涂色方法有六种，如图59所示。


　


　　因为A圆圈可以涂红、黄、蓝三种颜色，所以A、B、C、D四个圆圈的涂色方法共6×3=18种。

　　又因为A、B、C、D都有一条线分别与E、F、G、H相连，所以 E、F、 G、H各有2种不同的涂法，由此共有18×2×2×2×2=288种不同的涂法。

　　答：共有288种不同的涂法。

　　例100 9月1日开学那天，五年级数学科代表向李老师汇报说：“李老师，我们100个同学，在暑假里一共做了1600道数学题。”李老师听了非常高兴，当即表扬了他们，并且说：“你们100个人中，至少有4个人做的数学题的数目一样多。”李老师说的这句话对吗？为什么？

　　分析与解 根据题意，把100个学生按3人为一组，分成33组，还剩下1个学生。

　　假设第1组3个学生都没做题，即每人做了0道题；第2组3个学生每人做1道题；第3组3个学生每人做2道题；…… 第33组3个学生每人做32道题。剩下的一个学生要是与前面的99个学生做的题数不相同，最少也要做33道题。这样100个学生最少共做了

　　3×（0+1+2+3+4+…+31+32）+33

　　=3×528+33

　　=1584+33

　　=1617（道）

　　超过了1600道题。要是不超过1600道题，必须有1个或更多的学生少做题，合起来共少做了17道题。其实只要有1个学生少做了题，这个学生就会归到其它做题少的那组中去。这样一来，那个组就会有4个学生做题一样多了。

　　因此，李老师的话是正确的。