“圆周角”教学设计
天津实验中学 付 剑
教学任务分析
教 学 目 标 | 知识技能 | 1．了解圆周角与圆心角的关系． ２．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． ３．能运用圆周角的性质解决问题． |
数学思考 | １．通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力． ２．通过观察图形，提高学生的识图能力． ３．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力． | |
解决问题 | 在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题 | |
情感态度 | 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. | |
重点 | 圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． | |
难点 | 发现并论证圆周角定理． | |
教学流程安排
活动流程图 | 活动内容和目的 |
| 活动1 创设情景，提出问题 活动2 探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系 活动3 发现并证明圆周角定理 活动4 圆周角定理应用 活动５ 小结，布置作业 | 从实例提出问题，给出圆周角的定义． 通过实例观察、发现圆周角的特点，利用度量工具，探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系． 探索圆心与圆周角的位置关系，利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 反馈练习，加深对圆周角定理的理解和应用． 回顾梳理，从知识和能力方面总结本节课所学到的东西． |
教学过程设计
问题与情境 | 师生行为 | 设计意图 |
| [活动1 ] 问题 演示课件或图片（教科书图24.1-11）： （1）如图：同学甲站在圆心  的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 ，他们的视角（ 和 ）有什么关系？（2）如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置  和 ，他们的视角（ 和 ）和同学乙的视角相同吗？ | 教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆. 教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗  观看窗内的海洋动物．教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题． 教师结合示意图，给出圆周角的定义．利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题１、问题２中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（ ）所对的圆心角（）与圆周角（）、同弧所对的圆周角（、、等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究.本次活动中，教师应当重点关注： （1）问题的提出是否引起了学生的兴趣； （2）学生是否理解了示意图； （3）学生是否理解了圆周角的定义． （4）学生是否清楚了要研究的数学问题． | 从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学． 将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法． 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. |
| ［活动2］ 问题 （1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？ （2）同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？     | 教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论． 由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现．教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化： （1）拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动； （2）改变圆心角的度数；３．改变圆的半径大小． 本次活动中，教师应当重点关注： （1）学生是否积极参与活动； （2）学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确． | 活动２的设计是为 引导学生发现．让学生亲自动手，利用度量工具（如半圆仪、几何画板）进行实验、探究，得出结论．激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性．教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系． |
| ［活动３］ 问题 （1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ （2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动２中所发现的结论？ （3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？ | 教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论． 教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充． 教师演示圆心与圆周角的三种位置关系． 本次活动中，教师应当重点关注： （1）学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． （2）学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系．学生是否积极参与活动. 教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论． 学生写出已知、求证，完成证明． 学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动．启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化．教师讲评学生的证明，板书圆周角定理． 本次活动中，教师应当重点关注： （1）学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化 （2）学生添加辅助线的合理性． （3）学生是否会利用问题２的结论进行证明． | 数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法．学会发现问题，提出问题，分析问题，并能解决问题．活动３的安排是让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度． 问题１的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．培养学生思维的深刻性． 问题２、３的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般．学会运用化归思想将问题转化．并启发培养学生创造性的解决问题 |
| ［活动４］ 问题 （1）半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？   （2）90°的圆周角所对的弦是什么? （3）在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？ （4）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？ （5）如图，点  、 、、在同一个圆上，四边形 的对角线把４个内角分成８个角，这些角中哪些是相等的角？ （6）如图, ⊙O的直径AB 为10cm，弦AC 为６cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D, 求BC、AD、BD的长.   | 学生独立思考，回答问题，教师讲评． 对于问题（1），教师应重点关注学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数． 对于问题（2），教师应重点关注学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角的度数是180°,从而得出所对的弦是直径． 对于问题（3），教师应重点关注学生能否得出正确的结论，并能说明理由．教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件． 对于问题（4），教师应重点关注学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等． 对于问题（5），教师应重点关注学生是否准确找出同弧上所对的圆周角． 对于问题（6），教师应重点关注 （1）学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD； （2）学生能否将要求的线段放到三角形里求解． （3）学生能否利用问题4的结论得出弧AD与弧BD相等,进而推出AD=BD． | 活动４的设计是圆周角定理的应用．通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用．问题１、２是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论．问题３的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件．问题４是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密的结合起来，使学生很好地进行知识的迁移．问题５、６是定理的应用．即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解．教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果． |
| ［活动5］ 小结 通过本节课的学习你有哪些收获？ 布置作业． （1）阅读作业：阅读教科书P90—93的内容． （2）教科书Ｐ94 习题24.1第2、３、４、５题． | 教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容． 教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握． 教师布置作业． | 通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感． 增加阅读作业目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解． 课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，是让学生巩固、提高、发展． |