人教版中学九年级上册数学全册教案备课集

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四、应用拓展
例3．已知 =2- ，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简 + ，并求值．
    分析：由于（ + ）（ - ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
解：原式= +
= +
    =（x+1）+x-2 +x+2
    =4x+2
    ∵ =2-
    ∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
    ∴bx-b2=2ab-ax+a2
    ∴（a+b）x=a2+2ab+b2
    ∴（a+b）x=（a+b）2
    ∵a+b≠0
    ∴x=a+b
    ∴原式=4x+2=4（a+b）+2
    五、归纳小结
    本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
    六、布置作业
    1．教材P21  习题21．3  1、8、9．
    2．选用课时作业设计．
3.课后作业:《同步训练》

作业设计
    一、选择题
    1．（ -3 +2 ）× 的值是（  ）．
      A．  -3     B．3 -  
      C．2 -       D．  -
    2．计算（ + ）（ - ）的值是（  ）．
      A．2     B．3     C．4     D．1
    二、填空题
    1．（- + ）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2 ）（1+2 ）-（2 -1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
    3．若x= -1，则x2+2x+1=________．
    4．已知a=3+2 ，b=3-2 ，则a2b-ab2=_________．
    三、综合提高题
    1．化简
    2．当x= 时，求 + 的值．（结果用最简二次根式表示）

    课外知识
    1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．
    练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（  ）．
A． 与     B． 与
C． 与     D． 与
    2．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1- 与x+1+ 就是互为有理化因式； 与 也是互为有理化因式．
    练习： + 的有理化因式是________；
    x- 的有理化因式是_________．
    - - 的有理化因式是_______．
    3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
    练习：把下列各式的分母有理化
    （1） ；   （2） ；  （3） ；   （4） ．
    4．其它材料：如果n是任意正整数，那么 =n
    理由： = =n
    练习：填空 =_______； =________； =_______．

答案:
    一、1．A  2．D
    二、1．1-   2．4 -24    3．2  4．4
三、1．原式＝
= =
=-（ - ）= -
2．原式＝
= = = 2（2x+1）
    ∵x= = +1  原式＝2（2 +3）=4 +6.




二次根式复习课
教学目标
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
教学重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
教学过程设计
一、复习
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
　　
　　   指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
　　
　　指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，
　　计算结果要把分母有理化．
　　3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
　　
　　4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
　　 　
　　 　
　　 　
　　  　
　　二、例题
　　例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
　　
　　分析：
　　(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
　　
　　(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
　　(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
　　   
　
　　  　
　　  
x≥-2且x≠0．
　　   
　　解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以

　　
　　例3
　　
　　 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．
　　解 因为1-a＞0，3-a≥0，所以
a＜1，|a-2|＝2-a．
(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．
　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　
　
　　
　　这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．
　　
　　问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
　　 　
　　 　
　　 　
　　 　
　　
　　 　
　　分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．
　　
　　解
　　 　
　　 　
　　 　
　　
　　注意：
　　
　　所以在化简过程中，
　　  
　　例6
　　

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　　分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．
　　　　
　　　　　　　　　a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，
　　
　　三、课堂练习
　　1．选择题：
　　
　　A．a≤2　　B．a≥2
　　C．a≠2　　D．a＜2
　　
　　A．x+2 　　B．-x-2
　　C．-x+2　　D．x-2
　　
　　A．2x 　　　B．2a
　　C．-2x　　　D．-2a
　　 　
　　 　
　　 　
　　
　　2．填空题：
　　 　
　　 　　
　　
　　
　　
　　4．计算：
　　
　　 　　　
　　　　四、小结
　　1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．
　　2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
　　3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．
　　4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
　　五、作业
　　1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？
　　  
2．把下列各式化成最简二次根式：

























第二十三章  旋转
    单元要点分析
    教学内容
    1．主要内容：
    图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）．课题学习．图案设计．
    2．本单元在教材中的地位与作用：
    学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用．
    教学目标
    1．知识与技能
    了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质．
    了解中心对称的概念并理解它的基本性质．
    了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法．
    2．过程与方法
    （1）让学生感受生活中的几何，通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题．
    （2）通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题．
    （3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类．
    （4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容．
    （5）通过几何操作题，探究猜测发现规律，并给予证明，附加例题进一步巩固．
    （6）复习中心对称图形和对称中心的有关概念，然后提出问题，让学生观察、思考，老师归纳得出中心对称图形和对称中心的有关概念，最后用一些例题、练习来巩固这个内容．
    （7）复习平面直角坐标系的有关概念，通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题．
    （8）通过复习平移、轴对称、旋转等有关概念研究如何进行图形设计．
    3．情感、态度与价值观
    让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识．让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情．
    教学重点
    1．图形旋转的基本性质．
    2．中心对称的基本性质．
    3．两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系．
    教学难点
    1．图形旋转的基本性质的归纳与运用．
    2．中心对称的基本性质的归纳与运用．
    教学关键
    1．利用几何直观，经历观察，产生概念；
    2．利用几何操作，通过观察、探究，用不完全归纳法归纳出图形的旋转和中心对称的基本性质．
   

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单元课时划分
    本单元教学时间约需10课时，具体分配如下：
    23．1  图形的旋转          3课时
    23．2  中心对称            4课时
    23．3  课题学习；图案设计  1课时
    教学活动、习题课、小结    2课时

23.1 图形的旋转（1）
第一课时
    教学内容
    1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？
    2．什么叫旋转的对应点？
    教学目标
    了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．
    通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．
    重难点、关键
    1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用．
    2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念．
    教具、学具准备
    小黑板、三角尺
    教学过程
    一、复习引入
    （学生活动）请同学们完成下面各题．
1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．

2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．

    3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？
    （口述）老师点评并总结：
    （1）平移的有关概念及性质．
    （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它既有的一些性质．
    （3）什么叫轴对称图形？
    二、探索新知
    我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．
    1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？
    （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度．
    2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）
    3．第1、2两题有什么共同特点呢？
    共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．
    像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
    如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
    下面我们来运用这些概念来解决一些问题．
    例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
    （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
    解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．
    （2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．
    例2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．
    （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？
    （2）请画出旋转中心和旋转角．
（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？
（老师点评）
（1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H．
    最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的．
    三、巩固练习
    教材P65  练习1、2、3．
    四、应用拓展
例3．两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为 ，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由．
    分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE`=S△ODD`，那么只要说明△OEF′≌△ODD′．
    解：面积不变．
    理由：设任转一角度，如图所示．
    在Rt△ODD′和Rt△OEE′中
    ∠ODD′=∠OEE′=90°
    ∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE
    OD=OD
    ∴△ODD′≌△OEE′
    ∴S△ODD`=S△OEE`
    ∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD=
    五、归纳小结（学生总结，老师点评）
    本节课要掌握：
    1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．
    2．旋转的对应点及其它们的应用．
    六、布置作业
    1．教材P66  复习巩固1、2、3．
2．《同步练习》
一、选择题
1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（  ）．
    A．6个     B．7个     C．8个     D．9个
2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（  ）．
    A．20°     B．26°     C．30°     D．36°
3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（  ）．
A．70°     B．80°    C．60°     D．50°
           
                   (1)               (2)               (3)
二、填空题．

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1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．
2．如图2，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．
3．如图3，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP是________三角形．
三、综合提高题．
1．阅读下面材料：
如图4，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置．
如图5，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．
               
           (4)              (5)              (6)             (7)
    如图6，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．
    回答下列问题
    如图7，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF= AB．
    （1）在如图7所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE移到△ADF的位置？
（2）指出如图7所示中的线段BE与DF之间的关系．
   
2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？



答案:
一、1．B  2．C  3．B
二、1．旋转  旋转中心  旋转角  2．A  45°  3．点A  60°  等边
三、1．（1）通过旋转，即以点A为旋转中心，将△ABE逆时针旋转90°．
（2）BE=DF，BE⊥DF
2．翻滚一次  滚120°  翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2．













23.1 图形的旋转(2)
第二课时
    教学内容
    1．对应点到旋转中心的距离相等．
    2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
    3．旋转前后的图形全等及其它们的运用．
    教学目标
    理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用．
    先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质．
    重难点、关键
    1．重点：图形的旋转的基本性质及其应用．
    2．难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质．
    教学过程
    一、复习引入
    （学生活动）老师口问，学生口答．
    1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？
    2．什么叫旋转的对应点？
    3．请独立完成下面的题目．
如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？
    （老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的．
    二、探索新知
    上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：
    1．A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等？
    2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等？
    3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等吗？
    老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验．
    请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板．
（分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明）
    1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？
    2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？
    3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？
    老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等．
    2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．
    3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．
    综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出
    （1）对应点到旋转中心的距离相等；
    （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
    （3）旋转前、后的图形全等．
例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．
    解：（1）连结CD
    （2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD
    （3）在射线CE上截取CB′=CB
    则B′即为所求的B的对应点．
   

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（4）连结DB′
    则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
    例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE= ，△ABF是△ADE的旋转图形．
    （1）旋转中心是哪一点？
    （2）旋转了多少度？
    （3）AF的长度是多少？
（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？
    分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．
    解：（1）旋转中心是A点．
    （2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的
    ∴B是D的对应点
    ∴∠DAB=90°就是旋转角
    （3）∵AD=1，DE=
    ∴AE= =
    ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点
    ∴AF=
    （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE
    ∴△EAF是等腰直角三角形．
    三、巩固练习
    教材P64  练习1、2．
    四、应用拓展
例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．
    分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．
    解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形
    ∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°
    ∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的
    ∴BK=DM
    五、归纳小结（学生总结，老师点评）
    本节课应掌握：
    1．对应点到旋转中心的距离相等；
    2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
    3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．
    六、布置作业
    1．教材P66  复习巩固4  综合运用5、6．
2．作业设计．

作业设计
一、选择题
1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于（  ）
    A．50°    B．210°    C．50°或210°     D．130°
2．在图形旋转中，下列说法错误的是（  ）
    A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等
    B．图形上每一点移动的角度相同
    C．图形上可能存在不动的点
    D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等
3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（  ）


二、填空题
1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．
2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD=_________．
3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是________．

三、综合提高题
1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？

2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？

3．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，则△OAF与△OBE重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？


答案:
一、1．C  2．A  3．D
二、1．相等  2．△ACE  图形全等  CE  3．相等
三、1．这四个部分是全等图形
2．∵∠A+∠B+∠C=180°，
    ∴绕AB、AC的中点旋转180°，可以得到一个半圆，
    ∴面积之和=  ．
3．重合：证明：∵EG⊥AF
    ∴∠2+∠3=90°
    ∵∠3+∠1+90°=180°
    ∵∠1+∠3=90°
    ∴∠1=∠2
    同理∠E=∠F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC
    ∴△ABF≌△BCE，∴BF=CE，∴OE=OF，∵OA=OB
    ∴△OBE绕O点旋转90°便可和△OAF重合．
















23.1 图形的旋转(3)
第三课时
    教学内容
    选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案．
    教学目标
    理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．
    复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案．
    重难点、关键
    1．重点：用旋转的有关知识画图．
    2．难点与关键：根据需要设计美丽图案．
    教具、学具准备
    小黑板
    教学过程
    一、复习引入
    1．（学生活动）老师口问，学生口答．
    （1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？
    （2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？
    （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？
    2．请同学独立完成下面的作图题．
如图，△AOB绕O点旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的三角形．
    （老师点评）分析：要作出△AOB旋转后的三角形，应找出三方面：第一，旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG；第三，A点旋转后的对应点：A′．
    二、探索新知
   

admin

从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．
    1．旋转中心不变，改变旋转角
画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形．

    2．旋转角不变，改变旋转中心
画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30°的旋转图形．

因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．
    例1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案．
    分析：只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化，旋转长度为菊花的最长OA，按菊花叶的形状画出即可．
    解：（1）连结OA
    （2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45°，得A．
    （3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A．
    （4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶．
    那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形．
例2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心，请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？
    老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了．
    三、巩固练习
    教材P65  练习．
    四、应用拓展
例3．如图，如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形．
    分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图案．
    解：（1）连结OA，过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°，在射线OA′上截取OA′=OA；
    （2）用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′；
    （3）作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′G′、G′D′、D′H′、H′A′；
    （4）所作出的图案就是所求的图案．
    五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
    本节课应掌握：
    1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案；
    2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等．
    六、布置作业
    1．教材P67  综合运用7、8、9．
    2．选作课时作业设计．
第三课时作业设计
一、选择题
1．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（ ）
     A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可
     B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45°
     C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180
D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90°
2．同学们曾玩过万花筒吧，它是由三块等宽等长的玻璃镜片围成的，如图23-33是看到的万花筒的一个图案，图中所有三角形均是等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为中心（  ）
    A．顺时针旋转60°得到的    B．顺时针旋转120°得到的
    C．逆时针旋转60°得到的    D．逆时针旋转120°得到的

3．下面的图形23-34，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是（  ）
A．（1），（4）    B．（1），（3）    C．（1），（2）    D．（3），（4）

二、填空题
1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度是________．

2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换．
3．如图，过圆心O和图上一点A连一条曲线，将OA绕O点按同一方向连续旋转三次，每次旋转90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________．

三、综合提高题．
1．请你利用线段、三角形、菱形、正方形、圆作为“基本图案”绘制一幅以“校运动会”为主题的徽标．




2．如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！

3．如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．

答案:
一、1．D  2．D  3．C
二、1．4  72°   2．旋转  3．相等
三、1．答案不唯一，学生设计的只要符合题目的要求，都应给予鼓励．
    2．略
    3．∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
      ∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，
      ∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，
        △PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，
      ∴PP′= AP=3 ．
23.2 中心对称(1)
第一课时
    教学内容
   

admin

两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题．
    教学目标
    了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．
    复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．
    重难点、关键
    1．重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．
    2．难点与关键：从一般旋转中导入中心对称．
    教具、学具准备
    小黑板、三角尺
    教学过程
    一、复习引入
    请同学们独立完成下题．
如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法．
    老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可．
    作法：（1）连结OA、OB、OC、OD；
    （2）分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD；
    （3）分别截取OE=OB，OF=OC；
    （4）依次连结DE、EF、FD；
即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示．

    二、探索新知
    问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：
    1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？
2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？

老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．

    像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
    这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
    例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．
    （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．
（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．

    分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心．
    （3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．
    解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD
    （2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D
（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示．

    答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．
    （2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．
例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．

    分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可．
    解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B点关于中心D的对称点为C（B′）
    （2）连结A′B′、A′C′．
则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．

    三、巩固练习
    教材P74    练习2．
    四、应用拓展
    例3．如衅，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．
    （1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．
（2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式．

    分析：（1）∵BC=4，AC=4
    ∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1
    （2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x
    解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC
    ∴BC′=C′D=1
    ∴S△BDC`= ×1×1=
    （2）∵CC′=x，∴BC′=4-x
    ∵AC=BC=4
    ∴DC′=4-x
    ∴S△BDC`= （4-x）（4-x）= x2-4x+8
    五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
    本节课应掌握：
    1．中心对称及对称中心的概念；
    2．关于中心的对称点的概念及其运用．
    六、布置作业
    1．教材P73  练习1．
    2．选作课时作业设计．
第一课时作业设计
一、选择题
    1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（  ）个．
      A．1     B．2     C．3      D．4
2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（  ）个

      A．1      B．2     C．3      D．4
    3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（  ）
A．55°    B．125°    C．70°    D．110°

    二、填空题
    1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．