人教版初中八年级上册数学全册教案备课集

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（3）（ab）5÷（ab）2=（ab）5-2=（ab）3=a3b3．
    2．解：先用除法的意义计算．
    32÷32=1   103÷103=1   am÷am=1（a≠0）
    再利用am÷an=am-n的方法计算．
    32÷32=32-2=30
    103÷103=103-3=100
    am÷am=am-m=a0（a≠0）
    这样可以总结得a0=1（a≠0）
    于是规定：
    a0=1（a≠0）
    即：任何不等于0的数的0次幂都等于1．
    [生]这样的话，我们学习的同底数幂的除法的运算法则就可以扩展到：
    am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）．
    [师]说得有理．下面请同学们完成一组闯关训练，看哪一组完成得最出色．
    Ⅲ．随堂练习
    课本P187练习．
    让学生独立运算，然后交流计算心得，从而达到熟悉运算法则的目的．
    Ⅳ．课时小结
    这节课大家利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幂的除法的运算规律，并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验．
    Ⅴ．课后作业
    1．课本P191习题15．4─1、5题．
    2．预习“整式的除法”
《三级训练》
        板书设计
   











§15．4．2．1  整式的除法（一）
    教学目标
    （一）教学知识点
    1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．
    2．单项式除以单项式的运算算理．
    （二）能力训练要求
    1．经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，会进行单项式与单项式的除法运算．
    2．理解单项式与单项式相除的算理，发展有条理的思考及表达能力．
    （三）情感与价值观要求
    1．从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中，获得成功的体验，积累研究数学问题的经验．
    2．提倡多样化的算法，培养学生的创新精神与能力．
    教学重点
    单项式除以单项式的运算法则及其应用．
    教学难点
    探索单项式与单项式相除的运算法则的过程．
    教学方法
    自主探索法．
    有同底数幂的除法的研究基础，学生可以用已有的知识与数学经验，自主探索得出单项式与单项式相除的运算法则，并能用息的语言有条理地表达及应用．
    教具准备
    多媒体课件．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    问题：木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨．你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？
    [生]这是除法运算，木星的质量约为地球质量的（1.90×1024）÷（5.98×1021）倍．
    继续播放：
    讨论：（1）计算（1.90×1024÷（5.98×1021）．说说你计算的根据是什么？
    （2）你能利用（1）中的方法计算下列各式吗？
    8a3÷2a；5x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2．（3）你能根据（2）说说单项式除以单项式的运算法则吗？
    Ⅱ．导入新课
    [师]观察讨论（2）中的三个式子是什么样的运算．
    [生]这三个式子都是单项式除以单项式的运算．
    [师]前一节我们学过同底数幂的除法运算，同学们思考一下可不可以用自己现有的知识和数学方法解决“讨论”中的问题呢？
    （学生以小组为单位进行探索交流，教师可参与到学生的讨论中，对遇到困难的同学及时予以启发和帮助）
    讨论结果展示：
    可以从两方面考虑：
    1．从乘法与除法互为逆运算的角度．
    （1）我们可以想象5.98×1021?（  ）=1.90×1024．根据单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的因式，可以继续联想：所求单项式的系数乘以5.98等于1.90，所以所求单项式系数为1.90÷5.98≈0.318，所求单项式的幂值部分应包含1024÷1021即103，由此可知5.98×1021?（0.318×103）=1.90×1024．所以（1.90×1024）÷（5.98×1021）=0.38×103．
    （2）可以想象2a?（   ）=8a3，根据单项式与单项式相乘的运算法则，可以考虑：8÷2=4，a3÷a=a2  即2a?（4a2）=8a3．所以8a3÷2a=4a2．
    同样的道理可以想象3xy?（   ）=6x3y；
    3ab2?（   ）=12a3b2x3，考虑到6÷3=2，x3÷x=x2，y÷y=1；12÷3=4，a3÷a=a2，b2÷b2=1．所以得3xy?（2x2）=6x3y；3ab2?（4a2x3）=12a3b2x3．所以6x3y÷3xy=2x2；12a3b2x3÷3ab2=4a2x3．
    2．还可以从除法的意义去考虑．
    （1）（1.90×1024）÷（5.98×1021）= =0．318×103．
    （2）8a3÷2a= =4a．
         6x3y÷3xy= =2x2．
         12a3b2x3÷3ab2= ?x3=4a2x3．
    上述两种算法有理有据，所以结果正确．
    [师]请大家考虑运算结果与原式的联系．
    [生甲]观察上述几个式子的运算，它们有下列共同特征：
    （1）都是单项式除以单项式．
    （2）运算结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
    （3）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的．
    [生乙]其实单项式除以单项式可以分为系数相除；同底数幂相除，只在被除式里含有的字母三部分运算．
   

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[师]同学们总结得很好．能用很条理的语言描述单项式与单项式相除的运算法则，而且能抓住法则的实质所在，这是数学能力的提高与体现，老师为你们骄傲．下面我们应用单项式与单项式相除的运算法则解决一些计算问题，进一步体会运算法则的实质所在．
    1．例：计算
    （1）28x4y2÷7x3y
    （2）-5a5b3c÷15a4b
    （3）（2x2y）3?（-7xy2）÷14x4y3
    （4）5（2a+b）4÷（2a+b）2
    分析：（1）、（2）直接运用单项式除法的运算法则；（3）要注意运算顺序：先乘方，再乘除，再加减；（4）鼓励学生悟出：将（2a+b）视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算．
    解：（1）28x4y2÷7x3y
    =（28÷7）?x4-3?y2-1
    =4xy．
    （2）-5a5b3c÷15a4b
    =（-5÷15）a5-4b3-1c
    =- ab2c．
    （3）（2x2y）3?（-7xy2）÷14x4y3
    =8x6y3?（-7xy2）÷14x4y3
    =[8×（-7）]?x6+1y3+2÷14x4y3
    =（-56÷14）?x7-4?y5-3
    =-4x3y2．
    （4）5（2a+b）4÷（2a+b）2
    =（5÷1）（2a+b）4-2
    =5（2a+b）2
    =5（4a2+4ab+b2）
    =20a2+20ab+5b2
    Ⅲ．随堂练习
    a．课本P189练习1、2．
Ⅳ．课时小结
    1．单项式的除法法则是_________________．
    2．应用单项式除法法则应注意：
    ①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；
    ②把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；
    ③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；
    ④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行．
    Ⅴ．课后作业
    1．课本P191习题15．4─2、4、5题．
    2．预习“多项式与单项式的除法．”
   《三级训练》
§15．5．1  提公因式法

    教学目标
    （一）教学知识点
    1．因式公解、公因式．
    2．用提公因式法分解因式．
    （二）能力训练要求
    1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．
    2．了解公因式概念和提取公因式的方法．
    3．会用提取公因式法分解因式．
    （三）情感与价值观要求
    在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．
    教学重点
    会用提公因式法分解因式．
    教学难点
    如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
    教学方法
    引导发现法．
    教具准备
    投影片．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    [师]请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．（出示投影片）
    （1）20×（-3）2+60×（-3）
    （2）1012-992
    （3）572+2×57×43+432
    （学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式）
    [生]解：（1）20×（-3）2+60×（-3）
    =20×9+60×-3
    =180-180=0
    或20×（-3）2+60×（-3）
    =20×（-3）2+20×3×（-3）
    =20×（-3）（-3+3）=-60×0=0．
    （2）1012-992=（101+99）（101-99）
    =200×2=400
    （3）572+2×57×43+432
    =（57+43）2=1002
    =10000．
    [师]在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．
    Ⅱ．导入新课
    1．分析讨论，探究新知．
    出示投影片
    把下列多项式写成整式的乘积的形式
    （1）x2+x=_________
    （2）x2-1=_________
    （3）am+bm+cm=__________
    [生]根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：
    （1）x2+x=x（x+1）
    （2）x2-1=（x+1）（x-1）
    （3）am+bm+cm=m（a+b+c）
    [师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．
    可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．
    再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．
    [生]我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？
    [师]你分析得合情合理．
    因为ma+mb+mc=m（a+b+c）．
    于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法．
    2．例题教学，运用新知．
    出示投影片：
    [例1]把8a3b2-12ab3c分解因式．
    [例2]把2a（b+c）-3（b+c）分解因式．
    [例3]把3x3-6xy+x分解因式．
    [例4]把-4a3+16a2-18a分解因式．
    [例5]把6（x-2）+x（2-x）分解因式．
    （让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）
   

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[例1]分析：先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式．我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b．其中a的最低次数是1，b的最低次数是2．我们选定4ab2为要提出的公因式．提出公因式4ab2后，另一个因式2a2+3bc就不再有公因式了．
    解：8a3b2+12ab2c=4ab2?2a2+4ab2?3bc=4ab2（2a2+3bc）．
    总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．可以概括为一句话：括号里面分到“底”，这里的底是不能再分解为止．
    [例2]分析：（b+c）是这两个式子的公因式，可以直接提出．这就是说，公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．
    解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）．
    [例3]解：3x2-6xy+x=x?3x-x?6y+x?1=x（3x-6y+1）．
    注意：x（3x-6y+1）=3x2-6xy+x，而x（3x-6y）=3x2-6xy，所以原多项式因式分解为x（3x-6xy+1）而不是x（3x-6y）．这就是说，1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1．
    [例4]解：-4a3+16a2-18a
    =-（4a3-16a2+18a）
    =-2a（2a2-8a+9）
    注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．
    [例5]分析：先找6（x-2）与x（2-x）的公因式，再提取公因式．因为2-x=-（x-2），所以x-2即公因式．
    解：6（x-2）+x（2-x）
    =6（x-2）-x（x-2）
    =（x-2）（6-x）．
    总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，但可以发现公因式，然后再提取公因式．
    Ⅲ．随堂练习
    1．课本P194练习1、2、3．
    Ⅳ．课时小结
    [师]今天我们学习了提公因式法分解因式．同学们在理解的基础上，可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧．
    各项有“公”先提“公”，
    首项有负常提负．
    某项提出莫漏1．
    括号里面分到“底”．
    Ⅴ．课后作业
    课本P198～P199习题15．5─1、4．（1），６题．
    板书设计
   












§15．5．2．1  公式法（一）
    教学目标
    （一）教学知识点
    运用平方差公式分解因式．
    （二）能力训练要求
    1．能说出平方差公式的特点．
    2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
    3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．
    4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．
    （三）情感与价值观要求
    培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．
    教学重点
    应用平方差公式分解因式．
    教学难点
    灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
    教学方法
    自主探索法．
    教具准备
    投影片．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    出示投影片，让学生思考下列问题．
    问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
    问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
    问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？
    [生]1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．
    2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．
    3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解．
    [生]要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：
    a2-b2=（a+b）（a-b）．
    [师]多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．
    Ⅱ．导入新课
    [师]观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？
    （让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）
    （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
    （2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
    （3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．
    由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
    出示投影片
    [做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2这一类错误]
    填空：
    （1）4a2=（    ）2；
    （2） b2=（    ）2；
    （3）0.16a4=（    ）2；
    （4）1.21a2b2=（    ）2；
    （5）2 x4=（    ）2；
    （6）5 x4y2=（   

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）2．
    例题解析：
    出示投影片：
    [例1]分解因式
    （1）4x2-9   （2）（x+p）2-（x+q）
    [例2]分解因式
    （1）x4-y4    （2）a3b-ab
    可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．
[师生共析]
    [例1]（1）


    （教师可以通过多媒体课件演示（1）中的2x，（2）中的x+p相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）
    [例2]（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．
    （2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．
    解：（1）x4-y4
    =（x2+y2）（x2-y2）
    =（x2+y2）（x+y）（x-y）．
    （2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．
    学生解题中可能发生如下错误：
    （1）系数变形时计算错误；
    （2）结果不化简；
    （3）化简时去括号发生符号错误．
    最后教师提出：
    （1）多项式分解因式的结果要化简：
    （2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．
    练一练：
    （出示投影片）
    把下列各式分解因式
    （1）36（x+y）2-49（x-y）2
    （2）（x-1）+b2（1-x）
    （3）（x2+x+1）2-1
    （4） - ．
        Ⅲ．随堂练习
    1．课本P196练习1、2．
       Ⅳ．课时小结
    1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
    2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
    3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．
    Ⅴ．课后作业
    1．课本P198习题15．5─2、7题．
    2．预习“用完全平方公式分解因式”．
   《三级训练》
            板书设计
   



















备



§15．5．3．2  公式法（二）
    教学目标
    （一）教学知识点
    用完全平方公式分解因式
    （二）能力训练要求
    1．理解完全平方公式的特点．
    2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．
    3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．
    4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
    （三）情感与价值观要求
    通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．
    教学重点
    用完全平方公式分解因式．
    教学难点
    灵活应用公式分解因式．
    教学方法
    探究与讲练相结合的方法．
    教具准备
    投影片．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？
    问题2：把下列各式分解因式．
    （1）a2+2ab+b2
    （2）a2-2ab+b2
    [生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．
    [师]能不能用语言叙述呢？
    [生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
    问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．
    [师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．
    Ⅱ．导入新课
    出示投影片
    下列各式是不是完全平方式？
    （1）a2-4a+4
    （2）x2+4x+4y2
    （3）4a2+2ab+ b2
    （4）a2-ab+b2
    （5）x2-6x-9
    （6）a2+a+0.25
    （放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．
    结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2?a+22=（a-2）2
    （3）4a2+2ab+ b2=（2a）2+2×2a? b+（ b）2=（2a+ b）2
    （6）a2+a+0.25=a2+2?a?0.5+0.52=（a+0.5）2
    （2）、（4）、（5）都不是．
    方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．
    例题解析
    出示投影片
    [例1]分解因式：
    （1）16x2+24x+9    （2）-x2+4xy-4y2
    [例2]分解因式：
    （1）3ax2+6axy+3ay2     （2）（a+b）2-12（a+b）+36
    学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．
    [例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2?4x?3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即

    解：（1）16x2+24x+9
   

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=（4x）2+2?4x?3+32
    =（4x+3）2．
    （2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2?x?2y．
    所以：

    解：-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2）
    =-[x2-2?x?2y+（2y）]2
    =-（x-2y）2．
        练一练：
    出示投影片
    把下列多项式分解因式：
    （1）6a-a2-9；
    （2）-8ab-16a2-b2；
    （3）2a2-a3-a；
    （4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2
      Ⅲ．随堂练习
    课本P198练习1、2．
    Ⅳ．课时小结
    学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？
    （引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）

    Ⅴ．课后作业
    课本P198练习15．5─3、5、8、9、10题．
《三级训练》
    板书设计
   
   

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