人教版初中八年级上册数学全册教案备课集

admin

[师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．
Ⅲ．随堂练习
课本P121练习 1、2．
Ⅳ．课时小结
    这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．
Ⅴ．课后作业
    （一）课本习题14．1─3、4、9题．
    课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞


Ⅵ．活动与探究

    如图甲，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，延长对应线段AB和A′B′，两条延长线相交吗？交点与对称轴L有什么关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，AC与A′C′又如何呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？
    过程：在图甲中，AB与A′B′不平行，所以它们肯定会相交．下面来研究交点与对称轴L的关系．
    问题1：点和直线有几种位置关系？
    有两种．一种是点不在直线上，另一种是点在直线上．
    问题2：先来假设一下交点不在对称轴L上，看是否成立．
    如果交点（P）不在对称轴L上，那么在L的另一侧一定有另外一点（P′）与交点（P）关于直线L对称，且该点（P′）也是两延长线的交点．但是由于两条直线相交只可能有一个交点，所以这两点是重合的．即交点（P）只能在对称轴L上．所以交点一定在对称轴上．延长其他的对应线段，结果也一样．
  再看图乙，我们来讨论下一个问题．
  AC与A′C′是平行的，它们的两条延长线也不会相交．
    结论：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，那么它们也与对称轴平行．
   

板书设计
   §14．1．2  轴对称（二）
    一、复习：轴对称图形．
    二、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．
    三、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
    四、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．

   


















§14．2  轴对称变换
    教学目标
    1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．
    2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．
    教学重点
    1．轴对称变换的定义．
    2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
    教学难点
    1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．
    2．利用轴对称进行一些图案设计．
    教学过程
    Ⅰ．设置情境，引入新课
    在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题．在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样．
    将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．
准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．
   这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形．
    Ⅱ．导入新课
    由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．
对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途．

    下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下．
     结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；
连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
    我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
    成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．
     取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．
    （1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由．
   

admin

（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？三个图案为一组呢？为什么？
    （3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做．
    注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些．
    Ⅲ．随堂练习
        （一）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折3次，得到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如图（2）．
（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？

    （2）这个图形有几条对称轴？
    （3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？
    答案：（1）轴对称图形．
    （2）这个图形至少有3条对称轴．
    （3）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，得到一个多层的36°角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形．
    （二）回顾本节课内容，然后小结．
    Ⅳ．课时小结
    本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．
    Ⅴ．动手并思考
   （一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．

    （1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做．
    （2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试．
    （3）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？为什么？
    （4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？
    答案：（1）得到一个有2条对称轴的图形．
    （2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的2条对称轴；因此（1）中的图案一定有2条对称轴．
    （3）按题中的方式将正方形对折3次，相当于折出了正方形的4条对称轴，因此得到的图案一定有4条对称轴．
    （4）当纸对折2次，剪出的图案至少有2条对称轴；当纸对折3次，剪出的图案至少有4条对称轴．
    （二）自己设计并制作一个花边．
    课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
    Ⅵ．活动与探究
    如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”，你想怎样剪？设法使剪的次数尽可能少．
    过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称变换的应用．
    结果：“小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整个图．
    “十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可．

   

板书设计
   
§14．2．1．1  轴对称变换（一）
    一、轴对称变换
        由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
    二、利用轴对称变换设计图案

   








14．2 .2   用坐标表示轴对称
教学目标
在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系，再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形
教学重点
用坐标表示轴对称
教学难点
利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点
教学过程：
一、复习轴对称图形的有关性质
二、新授：
  1．学生探索：
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,－y)；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标(－x,y)；点(x,y)关于原点对称的点的坐标(－x,－y)
2．例3   四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．
（1）归纳：与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律；
（2）学生画图
（3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形．
3、探究问题
分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=－1(记为n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？
（1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系
（2）若△P Q R 中P (x ,y )关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P  (x ,y ) ，
则 ，y = y ．
若△P Q R 中P (x ,y )关于y=－1(记为n)轴对称的点的坐标P  (x ,y ) ，
则x = x ， =n．
三、小结本节内容
四、训练：课本135页的第1～3题
五、作业：课本136页的第5～7题
    课后练习〈课堂感悟与探究〉
























§14．3．1．1  等腰三角形
    教学目标
    1．等腰三角形的概念．
    2．等腰三角形的性质．
    3．等腰三角形的概念及性质的应用．
    教学重点
    1．等腰三角形的概念及性质．
    2．等腰三角形性质的应用．
    教学难点
    等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
     教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
   

admin

在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
   有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
  问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
    满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
    我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
    Ⅱ．导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．
         
   
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
    等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
    思考：
    1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
    2．等腰三角形的两底角有什么关系？
    3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
    4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
    结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
    要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
    沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
   由此可以得到等腰三角形的性质：
    1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
    2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
    由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
    如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
     
    所以△BAD≌△CAD（SSS）．
    所以∠B=∠C．
   ]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
     
    所以△BAD≌△CAD．
    所以BD=CD，∠BDA=∠CDA= ∠BDC=90°．
   [例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
   分析：
根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
   把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
      解：因为AB=AC，BD=BC=AD，
    所以∠ABC=∠C=∠BDC．
    ∠A=∠ABD（等边对等角）．
    设∠A=x，则
    ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
    从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
    于是在△ABC中，有
    ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
    解得x=36°．
    在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
    [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
    Ⅲ．随堂练习
    （一）课本P141练习 1、2、3．
    （二）阅读课本P138～P140，然后小结．
  Ⅳ．课时小结
    这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
    我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
  Ⅴ．作业
   （一）课本P147─1、3、4、8题．
   课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
       板书设计
   
14．3．1．1  等腰三角形（一）
    一、设计方案作出一个等腰三角形
    二、等腰三角形性质
    1．等边对等角
    2．三线合一

    参考练习
    一、选择题
    1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（  ）
      A．某一条边上的高;               B．某一条边上的中线
      C．平分一角和这个角对边的直线;   D．某一个角的平分线
    2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（  ）
      A．80°    B．20°    C．80°和20°     D．80°或50°
      答案：1．C   2．C
    二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
      求这个等腰三角形的边长．
    解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
        2（x+2）+x=16．
       解得x=4．
   所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．


§14．3．1．1  等腰三角形（二）
教学目标
1、       

admin

理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论
2、        能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.
教学重点
等腰三角形的判定定理及推论的运用
教学难点
正确区分等腰三角形的判定与性质.
能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.
教学过程：
一、复习等腰三角形的性质
二、新授：
　I提出问题，创设情境
出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．
学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”．
II引入新课
　　1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？
　　 作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？
　　2．引导学生根据图形，写出已知、求证．
　　2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)．
　　强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．
　　4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据．
　III例题与练习
　　1．如图2

　　其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]
　　2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．
　　②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．
　　③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．
　　④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．
　　3．以问题形式引出推论l______．
　　4．以问题形式引出推论2______．
例： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．
　　分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．
练习：5．(l)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？
　　(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？
　IV课堂小结
　　1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？
　　2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？
　　3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？
　　4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？
V布置作业
　　1．阅读教材
2．书面作业：教材第150页第12题
3、《课堂感悟与探究》
                          

14．3．２  等边三角形(一)
  教学目的
1．        使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。
2．        熟识等边三角形的性质及判定．
    2．通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法。
  教学重点、
等腰三角形的性质及其应用。
教学难点
简洁的逻辑推理。
  教学过程
    一、复习巩固
    1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?
    等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点 C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C。
    等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝ CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，因此“三线合一”。
    2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?  
    二、新课
    在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
    等边三角形具有什么性质呢?
    1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。
     2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?
    等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。
    3．上面的条件和结论如何叙述?
    等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
    等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?
    等边三角形也称为正三角形。
    例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数。
    分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为 BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求。
    问题1：本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?
    问题2：求∠1是否还有其它方法?
     三、练习巩固
    1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
    a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合(    )
    b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°(

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   )
2．如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。
                     
    四、小结
    由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。
    五、作业
1．课本P147─７，９
2、补充：如图(3)，△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求∠CBD，∠BOE，∠BOC，
∠EOD的度数。
（一）课本P147─1、3、4、8题．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞



























§14．3．2.2  等边三角形（二）
教学目标
掌握等边三角形的性质和判定方法．
培养分析问题、解决问题的能力．
教学重点
等边三角形的性质和判定方法．
教学难点
等边三角形性质的应用
教学过程
I创设情境，提出问题
回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识
1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
    2．等边三角形每一个角相等，都等于60°
    3．三个角都相等的三角形是等边三角形．
    4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法．
II例题与练习
1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?
    ①在边AB、AC上分别截取AD=AE．
    ②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．
③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
2．已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．

分析：由已知显然可知三角形APQ是等边三角形，每个角都是60°．又知△APB与△AQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得∠PAB＝30°．
  III课堂小结
1、        等腰三角形和性质
2、        等腰三角形的条件
V布置作业
1．教科书第147页练习1、2
   2．选做题：
  (1)教科书第150页习题14．3第ll题．
  (2)已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形．这样的点有多少个?
（3）《课堂感悟与探究》












§14．3．2.1  等边三角形（三）
教学过程
一、        复习等腰三角形的判定与性质
二、        新授：
1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分线相等
2．等边三角形的判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.
3．由学生解答课本148页的例子；
4．补充：已知如图所示, 在△ABC中,  BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B,
∠ABC=120o, 求证: AB=2BC
分析   由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是30o的直角三角形, 斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.
B





         
证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E
∵DB⊥BC(已知)
∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等)
在△ADE和△CDB中

∴△ADE≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)
∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知)
∴∠ABD=30o
在Rt△ABE中,∠ABD=30o
∴AE= AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o,
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
∴BC= AB   即AB=2BC
点评   本题还可过C作CE∥AB
5、训练：如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.
分析   由已知易证明△ADC≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点，于是有BN=AM，要证明△CNM是等边三角形，只须证MC=CN，∠MCN=60o，所以要证△NBC≌△MAC，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAC
证明：∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等）
∠BCA=∠DCE=60o（等边三角形的每个角都是60）
∴∠BCE=∠DCA
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等）
BE=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵BN= BE，AM= AD（中点定义）
∴BN=AM
∴△NBC≌△MAC（SAS）
∴CM=CN（全等三角形的对应边相等）
∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等）
∴∠MCN=∠ACB=60o
∴△MCN为等边三角形（有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形）
解题小结
1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.
三、小结本节知识
四、作业：课本151页第13，14题



























§15．1．1  整式
    教学目标
    1．单项式、单项式的定义．
    2．多项式、多项式的次数．
   

admin

3、理解整式概念．
    教学重点
    单项式及多项式的有关概念．
教学难点
单项式及多项式的有关概念．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题
    1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？
    2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？
结论：
1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为 ?c?h．
    2．小王的平均速度是 ．
   问题：这些式子有什么特征呢？
   （1）有数字、有表示数字的字母．
    （2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．
   归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．
  判断上面得到的三个式子：a+b+c、 ch、 是不是代数式？（是）
   代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．
Ⅱ．明确和巩固整式有关概念
（出示投影）









结论：（1）正方形的周长：4x．
    （2）汽车走过的路程：vt．
    （3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．
    （4）n的相反数是－n．
   分析这四个数的特征．
它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、 ch、 中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．
请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．
  根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、 ch、 这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．
   结论:4x、vt、6a2、a3、-n、 ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、 ．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、 ch都是二次单项式；a3是三次单项式．
   问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？
   结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．
   生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？
    写出下列式子（出示投影）
结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
    （3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即 ab-3.14r2．
    （4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．
    我们可以观察下列代数式：
    a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.14r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？
这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．
   




根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.14r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．
      a+b+c的项分别是a、b、c．
    t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．
    3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z．
     ab-3.14r2的项分别是 ab、-3.14r2．
    x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．    找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．
    这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．
    Ⅲ．随堂练习
    1．课本P162练习
    Ⅳ．课时小结
    通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感．
    Ⅴ．课后作业
    1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．
    2．预习“整式的加减”．
    课后作业：《课堂感悟与探究》



















§15．1．2 整式的加减（1）
教学目的：
1、        解字母表示数量关系的过程，发展符号感。
2、会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。
教学重点：
会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。
教学难点：
正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。
教学过程：
一、        课前练习：
1、填空：整式包括             和               
2、单项式 的系数是           、次数是         
3、多项式 是     次      项式，其中二次项
系数是       一次项是          ，常数项是            
4、下列各式，是同类项的一组是（        ）
  （A） 与    （B） 与   （C） 与
5、去括号后合并同类项：
二、        探索练习：
1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为            

admin

交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为                  
    这两个两位数的和为                                    
2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为             交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为                  
    这两个三位数的差为                                    
●议一议：在上面的两个问题中，分别涉及到了整式的什么运算？
        说说你是如何运算的？
▲整式的加减运算实质就是                             
运算的结果是一个多项式或单项式。
三、        巩固练习：
1、填空：（1） 与 的差是                          
（2）、单项式 、 、 、 的和为           
（3）如图所示，下面为由棋子所组成的三角形，
一个三角形需六个棋子，三个三角形需
（    ）个棋子，n个三角形需          个棋子
2、计算：
（1）
（2）  
（3）
3、（1）求 与 的和
(2)求 与 的差
4、        先化简，再求值：   其中
四、        提高练习：
1、        若A是五次多项式，B是三次多项式，则A+B一定是
（A）        五次整式     （B）八次多项式
（C）三次多项式    （D）次数不能确定
2、足球比赛中，如果胜一场记3a分，平一场记a分，负一场
记0分，那么某队在比赛胜5场，平3场，负2场，共积多
少分？
3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和，一定能被11
整除，请证明这个结论。
4、如果关于字母x的二次多项式 的值与x的取值无关，
试求m、n的值。
五、        小结：整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。
六、        作业：第8页习题1、2、3


























15．1．2整式的加减（2）
教学目标：1.会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及其语言表达能力。
          2.通过探索规律的问题，进一步体会符号表示的意义，发展符号感，发展推理能力。
教学重点：整式加减的运算。
教学难点：探索规律的猜想。
教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法。
教学用具：投影仪
教学过程：
I探索练习：  





   摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要      枚棋子，摆第3个需要      枚棋子。按照这样的方式继续摆下去。
  （1）摆第10个这样的“小屋子”需要        枚棋子
  （2）摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解决这个问题吗？小组讨论。
二、例题讲解：
三、巩固练习：
1、计算：
（1）（11x3－2x2）＋2（x3－x2）      （2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）

（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2） （4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）


2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，计算：（1）B－A    （2）A－3B

3、列方程解应用题：三角形三个内角的和等于180°，如果三角形中第一个角等于第二个角的3倍，而第三个角比第二个角大15°，那么
  （1）第一个角是多少度？
  （2）其他两个角各是多少度？

四、提高练习：
1、        已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋C＝0，问C是什么样的多项式？

2、设A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋
（y＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。
3、已知有理数a、b、c在数轴上（0为数轴原点）的对应点如图：

试化简：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│
小    结：要善于在图形变化中发现规律，能熟练的对整式加减进行运算。
作    业：课本P11习题1.3：1（2）、（3）、（6），2。
        《课堂感悟与探究》
















§15．2．1  同底数幂的乘法
教学目标
    （一）教学知识点
    1．理解同底数幂的乘法法则．
    2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
    （二）能力训练要求
    1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．
    2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．
    （三）情感与价值观要求
    体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．
    教学重点
    正确理解同底数幂的乘法法则．
    教学难点
    正确理解和应用同底数幂的乘法法则．
    教学方法
    透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．
    教具准备
    投影片（或多媒体课件）．
    教学过程
    Ⅰ．提出问题，创设情境
    复习an的意义：
    an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．
（出示投影片）

    提出问题：
    （出示投影片）
    问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
    [师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？
    [生]运算次数=运算速度×工作时间
    所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103．
    [师]1012×103如何计算呢？
    [生]根据乘方的意义可知
    1012×103= ×（10×10×10）= =1015．