教学生学数学

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只有喜欢数学，热爱数学，才能真正学好数学，运用好数学。那么，怎样才能喜欢数学、热爱数学呢？
1．培养学习数学的兴趣。
人们常说兴趣是最好的老师，学习数学也是这样。那么，怎样才能培养自己学习数学的兴趣呢？其实方法很多，其中之一就是寻找生活中的数学问题，真正体验到生活中处处有数学。
例如，妈妈让你到商店去买5个面包，在陈列面包的柜台里，放着如下图所示这样一些不同种类的袋装面包，你可以怎样买呢？

可以有5种不同的买法，分别是：
（1）买一袋，5只装的一袋。
（2）买两袋，可以有两种买法。
     a．一袋1只，一袋4只。
     b．一袋2只，一袋3只。
（3）买三袋，可以有两种买法。
     a．2只装的买两袋，三只装的买一袋。
     b．3只装的买一袋，l只装的买两袋。
（4）买四袋，2只装的买一袋，1只装的买三袋。
（5）买五袋，1只装的五袋。
同学们，这就是我们日常生活中经常遇到的问题，是不是很有趣啊。在日常生活中，这样的问题有许许多多，只要你仔细观察、认真思考，就能用我们学到的数学知识解决这类问题。体会到数学的有用性，你就会对数学充满深深的热爱，如果你总是怀着一种愉悦的心情学习数学，你就会乐此不疲、乐在其中。
2．掌握“分段”学习方法。
分段实现大目标，这是日本马拉松选手山田本一给人的启示。在1984年的东京国际马拉松邀请赛和1986年意大利国际马拉松邀请赛中，日本选手山田本一均夺得世界冠军。当记者请他谈谈经验时，性情木讷、不善言谈的山田本一的回答像谜：用智慧战胜对手。10年后，这个谜才被揭开。山田本一在他的一本自传中说：每次比赛之前，我都要乘车把比赛的路线仔细看上一遍，并把沿途比较醒目的标志画下来。比如第一个标志是银行，第二个标志是棵大树，第三个标志是一座红房子……这样一直画到赛程的终点。比赛开始后，我就奋力向第一个目标冲去。等到达第一个目标后，我又奋力冲向第二个目标……四十多公里的赛程，就被我分解成这么几个小目标轻松地跑完了。起初，我并不懂这个道理，我把我的目标定在四十多公里外终点线上的那面旗帜上，结果我跑了十几公里就疲惫不堪了。我被前面那段遥远的路程给吓倒了。
在学习数学的过程中也应该采取“分段”学习的方法。其实你们每天需要学习的数学内容并不多，例如第十一册教材第一课，只要掌握分数乘以整数的意义、计算法则，并能运用这些知识解答实际问题就可以了，这是多么简单的事情啊。日日积累、月月积累、年年积累就积累了许多数学基础知识与基本技能，在运用这些知识与技能解决实际问题的时候，你们的实践能力也会得到提高。
同学们，请你尝试一下运用以上的方法学习数学，你一定能更加喜欢数学、热爱数学。

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要学会做学习的主人



郑俊选



课堂教学活动是老师与学生、学生与学生间的多向交流，老师在教学中起主导作用，同学们也要充分地体现出上课学习是我们自己的事，应该自觉地成为课堂学习活动中的主人。至于自己是否已经真正成为学习的主人了，可以从下面几个方面来进行自评。

我对学习数学有兴趣吗？

数学是现代社会中人们从事生产劳动、学习与科学研究所必须具备的文化素质，数学与现实生活有着紧密的联系，运用数学知识可以解决生活中各种各样的实际问题。有了明确的学习目的，就可以激发我们学习数学的兴趣。同时数学又是一门科学性、系统性很强的学科，人们把数学誉为锻炼思维的体操。运用数学知识不仅能够解答某个实际问题，还能通过学习掌握数学知识内在的联系与规律性，发现数学知识对称与和谐的美，从而可以亲自体验到学习数学的乐趣。

我善于思考问题吗？

作为一名学生，在课堂上应该养成认真听讲的好习惯，这是毫无疑问的。我们既要专心地倾听老师的讲授，也要注意听取同学们的发言，但是仅仅做到这些还是很不够的，学习态度可能仍然是被动的。我们还要边听讲、边思考，还可以边思考、边猜测。在思考时，不妨多问几个“为什么”。如，这个问题为什么要这样解答，它的主要根据是什么？老师对答案的分析是否有道理，为什么要这样来考虑？问题的解答步骤是否正确，为什么答案不是唯一的？自己能否换一种解题思路，使得解法更加简捷、灵活？在猜想时，要调动自己的现有知识与生活经验，多作“联想”与“假设”。例如，初学小数除法时，不妨先来猜测一下2.4÷6的计算结果；学习了面积单位后，可以尝试目测某个平面大约包含了多少个相应的面积单位。

我勇于发表意见吗？

当老师或同学提问时，我是否能够积极地思考，勇敢地回答问题。特别当自己的想法与别人不同时，我能否在认真考虑他人意见的同时，依然还敢于发表与众不同的见解。无论是在年级里、班级里或小组学习的讨论会上，都能实事求是地说出自己（有可能是错误）的想法，以求得通过讨论、甚至于争论，最终获得正确的答案。时代要求我们具有创新的意识，在虚心听取他人的意见的同时，也要敢于表达自己的想法。

我敢提出问题吗？

我们在课堂上，既要做到专心听讲、对别的同学的答案敢于发表自己的独立见解，还要能够积极思考，勇于提出问题。要知道，提出一个问题往往比解答一个问题更为有意义。在学习过程中产生疑问，这是极为正常的现象。如果我们从自己这方面来分析，有可能是因为自己原有的知识基础还存在着一些缺陷，影响了对新知识的理解而产生的困惑；也有可能是自己对学习的内容产生了某种联想，于是又产生了新的问题。无论是前者还是后者，都要敢于把问题当堂提出来。在学习时，我们应该具有这种勇于发问探究真理的精神。

我重视操作实践吗？

数学知识的理解与掌握，离不开操作与实践，操作可以把抽象的数学知识转化成智力活动，通过我们的手、眼、口、耳多种感觉器官的协同“作战”，促使我们大脑左右两个半球的和谐发展，有利于培养我们的创新意识与实践能力，进一步体会数学的价值。我们要珍惜每一次数学课内与课外操作与实践的机会。例如，统计知识在日常生活和生产中有着广泛的应用，我们就要具有看懂和填写简单的统计图表的能力。再如，学习圆周率的时候，我们要用提供的物质材料，亲自动手操作去发现其中的规律。

我能和同学合作吗？

任何一项发明与创造，除了个人的努力外，还必须依靠集体的协作，这是人类社会发展的需要。现代社会要求人们在激烈竞争的同时，更需要进行广泛的、多方面的合作，竞争与合作是相辅相成、相互依存的。我们要学会在竞争中与同学合作，合作精神也是学生素质的重要内容。在小组讨论时，我们要重视听取他人的意见，做到互相补充、互相学习。当需要集体完成一项任务时，要注意发挥每个人的优势，分工合作，各取所长，在合作中形成一个“拳头”。

我有克服困难的意志吗？

我们所要学习的数学知识，并不全是饶有趣味的，也不是都轻而易举就能学会的，有些数学知识甚至于还比较枯燥乏味。再之，在学习的过程中，为了达到预期的某个目标，难免不会遇到这样或者那样的障碍。面对困难，我们是动摇退缩、半途而废，还是坚韧不拔、勇往直前呢，这对我们的意志是一个考验。我们要自觉地抓住这些机会，磨练自己克服困难、经受挫折的意志，这将会使我们终身受益的。

（本文作者郑俊选为中国教育学会小学数学教学专业委员会常务理事，北京景山学校特级教师）

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列式要重视思路



王继珍



解应用题时，既要重视在理解题意基础上去列式，更应注意列式的思维过程。

请看列式的思路。

一、思路不同、列式不同

有些应用题，因为解题的思路不同，所以出现不同的列式，而得出相同的结果。

如，一块钢坯重150千克，先截下30千克做4O个同样的零件，照这样计算，余下的钢坯可以做这样的零件多少个？

1．先求出余下的重量，再除以每个零件的重量。

列式为：（150－30）÷（3O÷40）＝160（个）

2．先求出余下的重量是截下的几倍，然后再求可做多少个零件。

列式为： 40×〔（150－30）÷30〕＝160（个）

3．先求出总重量是截下的几倍，再求出可做多少个零件。

列式为：40×（150÷30）－40＝160（个）

4．先求出每千克钢坯可做多少个零件，再求余下可做多少个零件。

40÷30×l50－40＝160（个）

5．先求每千克钢坯可做零件的个数，然后再求出余下的钢坯可做多少个零件。

（40÷30）×（150－30）＝160（个）

二、思路相同、列式不同

有些应用题，虽然思路相同，但列式不同。

如，光明机械厂去年计划生产机床1800台，实际头2个月就生产了计划的，照这样计算，可提前几个月完成任务？

解题思路都是用计划用的时间－实际用的时间＝提前时间。

列式为：

（1）12－180÷（1800×÷2）＝2（个月）

（2）12－l÷（÷2）＝2（个月）

（3）12－2÷＝2（个月）

（l）种是一般应用题解法。1800×÷2是实际每月生产机床的台数，1800除以实际每月生产的台数就是实际用的时间，计划用的时间减去实际用的时间，就是提前的时间。

（2）种是用“工程问题”的解法。把计划生产的总台数看作单位“1”，（÷2）是实际工效，1÷（÷2）＝10是实际用的时间，12－10＝2（个月），即是提前的时间。

（3）种是分数应用题的解法。把实际完成计划任务所用的时间看作单位“1”。2个月完成了全部工作量的，则实际完成全部工作的时间为2÷＝10（个月），再用计划用的时间减去实际用的时间就是提前的时间。即12－10＝2（个月）

以上几种列式总体的解题思路都是用计划用的时间一实际用的时间＝提前时间。但在具体解答中，从不同角度去分析，得出不同的解法，也就出现了不同的列式。

三、列式相同、思路不同

在解应用题时，有时虽然是同一种列式方法，但是解题思路却是不同的。

如，从果品公司买来7200千克水果，用2辆载重为1200千克的汽车来运，几次可以运完？

（1）因为每辆汽车每次运1200千克，假设7200千克水果用一辆汽车来运，要运几次？实际用2辆汽车运，几次可以运完？所以可以先求用一辆汽车运要运几次，再求用2辆汽车运要运几次。

列式为：7200÷1200÷2＝3（次）

（2）因为每辆汽车每次运1200千克，假设7200千克水果要一次运完，需要几辆汽车？实际只用2辆汽车运，要运几次呢？所以可先求出一次运完要用几辆汽车，再求2辆车几次可以运完。

列式也是：7200÷1200÷2＝3（次）

通过以上的几个例子可以看出，列式时可能出现几种情况：思路不同，列式不同；思路相同，列式不同；列式相同，思路不同。所以解题时，要把解题和训练思维有机给合起来。要在解题时，常想想：我根据题意是怎样列式的，列式的思考过程是什么？是怎样分析题中数量关系的，分析的角度一样吗？久而久之，通过解答应用题，起到训练思考力的作用，从而不断提高我们的思维水平。

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学习数学要多问为什么



李润泉



《数学小灵通》和小朋友们见面了，我预祝各位小朋友像刊物所期望的那样，经过自己的努力都成为数学小灵通，真正学好数学！

学好数学的窍门就是对每一项内容都要问为什么。例如，数学离不开数、量和图形，那么数、量和图形是怎样产生的？它们之间又有什么关系？为什么要学习这些内容和怎样才能学好这些内容？提出问题，然后寻找答案，就会发现原来数学的问题是从实际生活中总结出来的，学习这些内容更是为了进一步解决实际生活和学习中的问题。正如我国著名数学家华罗庚教授所说的，“数（shù）起源于数（shǔ），量（līàng）起源于量（līáng）。”“数学是一切科学得力的助手和工具。”“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”因此，带着问题学数学就容易在理解的基础上掌握所学的内容，并学会应用。

小朋友学习数学最先接触的是数和量。为什么只用十个阿拉伯数字就可以表示出任意的数？计数和计量有什么关系？如何掌握它们之间的内在联系？要弄清这些问题，先从小朋友在生活中已经接触过的数数开始。从一个一个地数，到十个十个地数，一百一百地数，一千一千地数……从而引出个、十、百、千……这就是计数单位。每个计数单位在写数时都占有一定的位置，这就是数位。有了数位这个概念，只用l、2、3、4、5、6、7、8、9、0这十个数字写在不同的数位上就可以表示出任意的十进位数。这就是国际上通用的十进制计数法。

同理，在学习计量时，先取一个单位作标准，然后一个单位一个单位地量（līáng），就产生各种不同的计量单位；把数和量结合起来，就可以比较量的多少和说明量的变化。掌握了计数单位和计量单位，在计算时，就容易理解只有相同计数单位上的数或相同计量单位的数才能直接相加减。

在学习图形知识时，常见的几何图形都存在于小朋友周围的物体中。把几何形体和量的计量相结合，不仅可以说明物体的形状，还可以表示出它们的大小和数量，并且可以计算出物体的长度、面积和体积，沟通长度、面积和体积三者之间的关系。几何形体看得见，摸得着，容易和实际结合，并且可以度量、计算和动手制作模型。因此，小朋友们通过看、摸和动手操作，容易发现和提出这样那样的问题。如平面图形的边长和周长有什么关系？各种图形之间有什么关系？长度、面积和体积之间有什么关系？等等。

认识平面图形时，带着自己发现和提出的问题，经过观察、探索、讨论、动手操作和实验，容易自行发现各种平面图形的特征和特性，边长和周长之间的关系。学习长度、面积、体积时，本来量长度要用长度单位，量面积要用面积单位，量体积要用体积单位，但是用面积单位量和用体积单位量不方便。经过探究，认识到可以借助图形的边长等算出它们所包含的面积单位数或体积单位数。学习各种图形的面积或体积时，通过把新的图形转化成前面学过的图形，就可以推导出新的图形的面积或体积计算公式。

紧密联系实际生活和原有知识，学习每一部分内容都多问几个为什么。这样学习数学不仅可以更好地理解所学的内容，掌握各部分知识之间的联系，学会应用，还培养和提高了自己的学习能力，掌握了数学王国入门的钥匙。

本文作者李润泉：中国教育学会小学数学教学专业委员会顾问，九年义务教育小学数学教材主编。

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做计算题也要认真审题



郑俊选



解答应用题的时候，我们都非常重视审题这个环节，因为不认真审题，就不能正确地理解题意、分析数量关系，解题也就无从入手了。而在做计算题的时候，往往认为数目和运算符号都是明摆着的，不审题也照样可以计算。其实，做计算题的时候同样也是需要认真审题的。通过审题，可以看清数目的特点，运算之间的关系，既能确定运算顺序，又能进一步思考：是否可以应用运算定律或运算性质，使计算方法更加合理、灵活，计算更加简便呢？审题，可以培养我们的观察能力，发展我们的思维能力，提高我们的计算能力。

现在，让我们通过计算下面的题，进一步认识审题是多么的重要啊！

（＋）÷5×有的同学说这道题的计算结果是，你同意吗？先让我们一起来审题：这是一道含小括号的三步计算式题，按运算顺序的规定，应该先算小括号里的，再算小括号外的。小括号里＋，和是，小括号外的乘法与除法属同一级运算，计算时应该从左往右依次进行。正确的计算过程是：（＋）÷5×＝÷5×＝××＝。计算的最后结果应该是，而不是。从表面上看，造成错误的原因是计算时违反了运算顺序，实际上呢，是有的同学被5×正好可以约分这一组合形式吸引所致。如果我们在计算之前能够认真审题的话，那么，这样的错误是完全可以避免的，你说对吗？

又如15×78＋45×74，这是一道“求两积之和”的三步式题，粗看，数目和和运算之间没有明显的特点，按运算顺序应该先分别计算出15×78、 45×74的积，然后将两个积相加，它们的和便是计算的最后结果。如果我们在审题时，充分利用自己头脑中的数字知识，就能看到数目间的倍数关系，并能想到将原来的算式转化成为符合应用乘法分配律进行简算的可能性。依据“两个数相乘，一个因数扩大几倍，另一个因数缩小同样的倍数，积不变”的性质，将15扩大3倍为45，78缩小3倍为26，使15×78转化成为45×26。计算过程是：15×78＋45×74＝（15×3）×（78÷3）＋45×74＝45×26＋45×74＝45×（26＋74）＝45×100＝4500。由此可见，认真审题，有时可以将题目进行合理地“改造”，使计算简便。

认真审题，既是一个良好的学习习惯，也是一项重要的学习能力。习惯和能力都需要有意识地去培养，让我们在做计算题的过程中，自觉地增强审题意识，锻炼审题能力吧！

（本文作者郑俊选：中国教育学会小学数学教学专业委员会常务理事；北京景山学校特级教师。）

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先从简单情况考虑

陈圣宇

著名数学家华罗庚爷爷指出，善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。这段话给我们以深刻的启示：当我们遇到一道难题束手无策时，不妨采用“退”的方法先退到一种简单的情况进行考虑，然后通过判断、推理，进而使问题得到解决。举一个简单的例子： 例1．修一段公路，第一天修全路的多2千米，第二天修余下的少1千米，还剩下2O千米没有修完。求公路的全长。 我们可以退一步，先从简单的情况考虑：要是第二天修了剩下的，那么该剩下19千米，因此，除了第一天修的公路，还剩下19÷＝38（千米）。再继续想，要是第一天只修了公路全长的，那么剩下的是38＋2＝4O（千米），所以公路全长是4O÷＝80（千米）。 具体地说来，先从简单情况考虑可以分为从一般退到特殊，从抽象退到具体，从整体退到部分等。 例2．一只轮船往返于甲、乙两个码头之间一次。问：静水中航行所花时间长，还是流水中航行所花时间长，还是所花时间一样长？ 这样的问题，一时很难作出回答。我们可以先从简单情况考虑，退到一种非常特殊的情况：即假定船速等于水速，那么问题就迎刃而解了。由于船速等于水速，因此轮船在逆水航行时将停止不前。这就是说，轮船无论花费多少时间，也无法在这样的流水中完成两个码头之间的往返航行。而在静水中航行的话，往返一次所花的时间总是“往”（或“返”）时的2倍。因此，在流水中航行所花的时间长。 接着看一下从抽象退到具体。 例3．某实验小学四年级的男生人数比女生多，问女生人数比男生少几分之几？ 这道题比较抽象，而且由于“标准量”、“比较量”的前后变化，增加了题目的难度。但是如果我们先从简单情况考虑，把它从抽象形退到具体，问题还是不难解决的。 我们不妨假设四年级女生人数为4人，（其实只要所设的女生人数是4的倍数即可）根据题意，四年级男生人数为4×（l＋）＝5（人），所以（5－4）÷5＝，即女生人数比男生少五分之一。 最后讲一下从整体退到部分。 例4．计算： … 这道题用常规方法（通分后再相加）是行不通的。我们可以先从简单情况考虑，考查前几项的结果（即所求算式的一部分的结果）； ； …… 据此，可得原题结果为。 先从简单情况考虑，是我们解数学题的一个好方法，希望同学们能好好掌握。 （作者单位：江苏省启东审实验小学）

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用等拼法巧解几何题

喻译萱

有些几何题，按题中所给的条件往往不能直接解决。我们可以根据题意用“等拼法”完成。即取两个或多个与所求图形完全相同的图形拼起来，构成一个整体，然后利用所求图形与这个整体之间的关系进行求解。 ［题目］  如图1，梯形ABCD中，AB＝1O厘米，CD＝2O厘米，斜边AD被等分成5等份，过各分点引AB的平行线相交于斜边BC。求梯形内部4条线段的总长是多少厘米？ ［分析与解］  取与梯形ABCH完全相同的梯形CFEB，将这两个同样的梯形拼成平行四边形AEFD，如图2。梯形ABCH与梯形CFEB内部的4条线段对应相等，并且被拼成4条长度等于：1O＋2O＝3O（厘米）的线段，所以梯形ABCD内部4条线段的总长是30×4÷2＝60（厘米）。 练一练： 一个等腰直角三角形，斜边长6厘米。这个三角形的面积是多少？ ［参考答案（6÷2）×（6÷2）÷2］×2＝9（平方厘米）］ （作者单位：江苏省如东县掘港小学）