五年级数学观摩课教学设计：图形的变换

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图形的变换



于萍 （北京市北京小学）



一、教学背景分析

1．教学内容分析

本课为人教版五年级下册“图形的变换”单元的一节练习课。是在学生已有的关于对称和旋转的知识基础上，通过观察、想象、分析和推理等过程，深化对轴对称以及旋转变换特征和性质的理解，并引出了两个图形成轴对称的概念。可以通过有意义的活动，为学生创造进行探究的时间和空间，让学生有机会观察和实践，为学生的空间观念的发展和思维能力的提高创造条件。

2．学生情况分析

学生在二年级已经认识了日常生活中的对称、平移和旋转现象。学生能够结合典型实例进行辨别，有一些对轴对称图形和旋转变换的初步感知。但对图形成轴对称的特征和性质没有细致而深刻的认识，对旋转变换更是停留在感知的层面。学生在本单元前面的新课中已经对这两种变换有了一定的认识，基本能够正确进行对称与旋转变换。但在变换的过程中学生更多的是依赖直观感受，凭感觉画图的现象还很普遍，缺少有效的画图方法，对“点可以确定线，线可以围成图”的关系及策略还不甚了解。

此外，由于对称、旋转都是分别出现在学生面前的，还没有机会将它们放在一起对比和运用，对平移的感受更是停留在二年级的教学内容上。学生对这些图形变换方式的了解还仅限于变换本身，对图形变换的价值则感受甚少。这些也都成为了本节课力图实现的目标。

二、教学目标

1. 使学生进一步认识图形的轴对称与图形的旋转，理解图形成轴对称及图形旋转的特征和性质。

2. 从点、线和面的角度深入理解图形的变换，积累进行图形变换的方法，感受化繁为简、化新为旧的解决问题策略，进一步增强空间观念。

3. 在活动中，欣赏图形变换所创造出的美，进一步感受对称、平移和旋转在数学学习中的应用，体会图形变换的价值。

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三、教学过程

教师活动	学生活动	环节设计意图 及效果分析
（一）引入 我们已经研究过哪些图形的变换方式？ 二年级大家初步认识了图形的平移和生活中的旋转现象，初步认识了轴对称图形。最近我们进一步认识了图形的轴对称和图形的旋转。 （二）练习——对称 1. 判断 借助下面的几个图形来检验大家学的新知识，请你依次判断每个图形是不是轴对称图形？如果是用手势表示出对称轴的位置，如果不是请说明理由。 小结：有没有对称轴是判断轴对称图形的依据，看来对称轴对于轴对称图形而言非常重要。 2. 找一找 （1）提供对称轴：你能找到与它对称的点吗？你是怎样确定的？ 小结：看来对称现象的背后还藏着相等的关系。 （2）现在对称轴的一侧是一条线段了，你还能找到与它对称的线段吗？ 小结：只要找到两个端点的对称点，把它们连接起来，得到的线段一定与原线段对称。 （3）变成平面图形还行吗？ 如果左边是个四边形、五边形、八边形呢？ 小结：只要找到每个顶点的对称点，再把它们依次相连，所围成的图形就一定是原图形的轴对称图形。 3. 猜一猜： 这里有一幅于老师用电脑绘制的图画，你能猜出我的绘制过程吗？ 你知道我在绘制过程中运用了怎样的图形变换方式吗？ 小结：看来选择不同的基本图形，经过一系列的变换还有可能得到相同的效果呢！ （三）练习——旋转 1. 选一选 旋转也是我们学习的一种图形变换方式。这里有一个图案，如果将它绕O点顺时针旋转90°，应该是怎样的效果呢？请你先想象一下，再选一选。 你能说说其他的选项分别错在哪里吗？ 小结：要想准确地描述或进行一个旋转变换，中心、方向和度数是缺一不可的三要素。 2．画一画 你能把这三要素正确地运用在一个平面图形的旋转变换中吗？ 要求：将三角形绕O点逆时针旋转90°。 （1）你打算怎样做？ 虽然这次是对一个平面图形进行旋转，但你还是借助了图形的边，也就是线段的变换来实现整个图形的变换的。 （2）三角形有三条边，参考哪条或哪些边更好？ 准确地对一个平面图形进行旋转，你可以怎样做？ 演示： （3）请你试一试：将这个三角形在第一次变换的基础上继续绕O点逆时针旋转 90°，连续做两次。 小结：对一个平面图形进行旋转变换，大家的好经验就是通过线段的变换来实现对平面图形的变换。在图形的世界中，点、线、面有着不可分割的密切联系。 3．说一说 这里有一幅图，是由一个简单的三角形经过一系列变换形成的，在演示的过程中，请你说出变换方式。 4．画一画 听要求画一画，看看最后这个长方形会变成什么？ （1）将1号长方形以这条直线为对称轴画出与它有轴对称关系的长方形，编为2号长方形。 （2）绕A点顺时针旋转90°得到3号长方形。 （3）将2号长方形向右平移4格。 小结：借助图形的变换可以设计出很多漂亮的图案，图形的变换不光可以给我们带来美的享受，在学过的数学知识中也有重要作用。 （四）图形变换的应用 1．面积推导 你看到了怎样的变化？ 小结：我们在研究图形面积时曾经见过这些变换。图形变换帮助我们用旧图形的知识解决了新图形的问题。 2．解决问题——算一算 图形的变换在解决问题时也有用武之地。 （1）求蓝色部分的面积：没学过圆的面积计算方法，你有办法解决这个问题吗？ （2）求蓝色部分的面积。 小结：刚才遇的一些看似麻烦或没有学过的问题，通过简单的变换，就化新为旧，化繁为简了。其实，巧妙地运用变换是解决图形问题的一种重要的好方法。 （五）总结 平移、对称和旋转在前面的学习中是一个一个地学的，今天我们把它们放在了一起，发现了图形中的美，解决了新的问题，它还将在今后的学习中为我们带来更新奇的发现、更丰富的收获。	平移、对称、旋转。 看图判断，并用手势表示出对称轴的位置。 借助方格找对称点。 借助方格找对称线段。 借助相等关系找轴对称图形。 出示选项前：边想象，边用手势描绘旋转后的图案。 出示选项后生一齐选择C。 学生讲解自己的想法或画法。 介绍自己进行旋转变换的经验和方法。 动手操作，进行图形变换。 随图形的演示过程，说出不同的图形变换方式。 听要求，动手画图（边画边猜）。 把左边的半圆平移到右边，就变成一个长方形了。 4×5=20（cm2） 通过平移或旋转。转化成长方形再计算。 6×3=18（cm2）	复习图形变换的不同方式，明确本节课练习的主题。 在判断中明晰轴对称图形的特点以及判断轴对称图形的方法。 在网格中寻找有轴对称关系的点、线段和平面图形，引导学生挖掘轴对称中的相等关系。 学生在确定原图形点的轴对称图形时，关注到了点到对称轴的距离（2格），也就自然地挖掘出了轴对称关系中隐藏的相等关系。 由点变为线段，学生自然地想到了分别确定两个端点的位置，那么原线段的轴对称线段也就确定了，积累“线中找点”的意识。 由线段围成平面图形，学生也顺利地想到通过分别确定三个顶点，再依次相连得到三条边，所围成的图形就是原图形的轴对称图形，“图中找线、线中找点”的方法。 承上启下，利用刚刚找到的有轴对称关系的图形进行旋转变换，引出有关旋转的练习。 引导学生从不同角度看问题，根据自己的理解来分析这幅图案的绘制过程。 线条图案的旋转相对比较简单，更有助于学生准确地关注图形旋转变换的三个基本要素。 学生通过对错误选项的逐一分析，进一步明确图形旋转变换的三要素，并巩固对其的理解。 从线条图案的旋转过渡到平面图形的旋转，丰富学生对旋转变换的感知和理解。 学生在进行图形旋转时，感受到：要想实现对一个平面图形的旋转变换，可以从它的边（即线段）入手。与寻找轴对称图形的方法相呼应，形成统一的解决问题策略。 通过对比，帮助学生积累正确进行图形旋转变换的经验和策略。 动手绘图，巩固平面图形旋转变换的方法与技巧。 在总结中梳理点、线、面之间的关系，帮助学生提升对图形变换的认识。 将平移、对称和旋转综合在一起进行辨析，使学生能够准确地判断图形的不同变换方式。在巩固知识的同时享受图形的美。 对长方形进行对称、旋转和平移的不同变换，在巩固不同的变换方式的同时，帮助学生提高综合运用知识和绘图的能力。 在观察中将图形的变换与曾经学过的图形计算建立起联系。 运用图形变换巧妙地解决问题，进一步感受图形变换的价值。 运用图形变换就能够将一些看似复杂、甚至是没有学过的问题化繁为简、化难为易、化新为旧，从而快捷地解决问题。

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教学设计说明

在新课标的引领下，现行教材中几何课程的内容较过去来讲有了较大的丰富。“空间与图形”主要从“图形的认识”“测量”“图形与变换”“图形与位置”这四个方面展开。其中，除了对图形性质的认识以外，图形的运动与位置关系等也成为学生学习几何的内容，这从本质上就反映出了几何课程的目标价值取向：发展空间观念、发展几何直观、发展推理能力等。围绕“图形的变换”这部分内容，要想更好地实现新课程的这一理念，教师在教学中应关注以下几方面。

1. 找准学习目标——提升空间观念

一个图形要运动，必然涉及方向、位置的变化，这需要观察、想象、比较、推理等思维活动，所以这一部分也是培养和发展空间观念的很好的载体。空间观念是几何形体的大小、形状及其相互位置关系在人脑中的表象，其主要内容包含：从较复杂的图形中分解出基本的图形，并分析其中的基本元素及其关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。由此可见，在本内容的教学中，学生的学习目标绝不仅仅是认识图形变换、会进行简单的变换而已，更要通过图形的变换，实现空间观念的提升。这就需要在变换活动中追溯数学概念，为学生提供深入理解变换本质的机会。本课中“由点得线”“由线围面”的剖析，也是力求帮助学生感受点、线、面之间的关系，同时认识图形变换一一对应的本质。由此，丰富和深化学生头脑中关于图形位置变换的表象，实现提升空间观念的目标。

2. 提供必要保障——恰当直观演示

空间观念是在空间知觉的基础上建立起来的。在形成这种空间知觉的过程中，直观的素材是必不可少的。恰当的直观演示也必然成为这类内容教学的必要手段。本课中关于轴对称与旋转的细致分析和训练都没有脱离网格，这是学生细致关注图形变换的重要帮手，它可以带领学生从粗略的感知走向细致的分析，从对现象的了解走向对本质的探寻。无论是对“相等关系”还是“一一对应的点”的深入理解，都离不开网格的功劳。可以说，教师对直观素材的恰当设计，是学生空间观念得以提升的必要手段和良好保障。

3．体现学习价值——尝试综合运用

在学生们常见的有关图形变化的学习素材中，有很多都渗透了图形变换带来的美。而图形变换的数学价值学生感受不多，似乎学习图形的变换单单就是美的需要。其实不然，在学生们已有的学习经历中，这些变换方式就曾经发挥过重要的作用，只是他们未曾留意而已。在将来的学习中，学生们还会更多地运用变换研究新问题。这时，教师为学生揭开面纱，让其有机会感受它们的价值是很有必要的。

本课中对平行四边形和梯形面积推导过程的演示对学生而言并不陌生。只是以前大家更关注的是“它变成什么了？变化前后有哪些联系？”而今天学生们却从“是什么让曾经的新图形变成了大家熟悉的旧图形呢”这个角度思考，在恍然大悟的一刹那，图形变换的价值不言自明。在解决几个图形中“带颜色部分的面积是多少”的问题时，学生们更是主动地综合运用多种图形变换方式，使其由繁变简、由难变易、由新变旧，在学生们洋溢的笑脸和惊喜的表情中，图形变换的价值已不言而喻。

目标准确一点儿，手段恰当一点儿，价值挖掘一点儿，都能够让我们的课堂实效许多。然而目标的确立、手段的选取和价值的渗透，离不开教师对教材的挖掘以及对学生的了解，这将是我们教学实践不断探寻的主题。

执教教师简介

于萍  北京市骨干教师，“吴正宪小学数学教师工作站”成员。先后被评为北京市优秀教师、宣武区教育系统先进教师、青年科研骨干教师及北京市优秀团员。在宣武区首届“红烛杯”专业技能竞赛中获全能一等奖。在首届“京城杯”教学交流活动中做展示课，执教的“小数加减法”一课在第九届全国深化小学数学教学改革观摩交流会中获一等奖。曾多次承担市、区研究课。有多篇论文在市、区评选中获奖。曾编著北京小学数学教师教学经验专集《用智慧开启智慧》，并参与编写了《数学教学创新说》、《数学精品课堂》等多本课改专著。