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应用题历来是小学数学教学的难点，但也是发展同学思维能力的重要工具。对于小同学解答应用题的困难 原因分析，既有利于改进教学方法，提高教学质量，也有利于对差生的学习障碍进行诊断，提高他们的思维技巧。
对于造成一步或两步计算应用题困难的原因，国内早有研究。研究者认为，解一步应用题困难的原因主要 是同学对应用题的结构、类型以和对应用题中时间、空间的叙述不能正确理解；解两步应用题困难的原因主要 是没有学好一步应用题和没有掌握好分析应用题的方法。
我们针对三步以下应用题的困难原因进行了研究。在两所小学的六年级各选取2名最优秀的同学和2名中等 偏差同学，采取个别测试的方法，让他们每人分析6个应用题并列出算式（题目和后），要求他们解题时自言自 语“出声思维”，以研究他们的思维过程。每个题限考虑8分钟。
结果列于下表。
表1 各题的有关特征和正确人数 题类型 分数应用题 行程应用题 归一应用题 题号 1 2 3 4 5 6 步骤数 3 4 3 5 3 5 优生（4人） 3 4 0 1 4 4 中下生（4人）1 0 0 0 2 3 合计（8人） 4 4 0 1 6 7
显然，总的来说，优生的成果明显高于中下生，但差异最明显的是中等难度的题（第1、2、5题），在最容 易的题目上（第6题）正确率都很高，最难问题上（第3、4题）正确率都极低，差别均不显著。这可能是因为优 生和中下生都具备了一定的解决应用题的技巧，在解决较复杂的问题上，优生显然具备了更高的解题技巧，但 即使是优生，在解决第3、第4这样的题目时，也会显得一筹莫展，正确率极低。这充沛暴露了应试教育在思维 技能培养上的缺陷。
小同学解答复杂应用题困难的主要原因是什么？我们原先设想，解答步骤越多，难度越大，但本实验的结 果证明，无论对于优生和差生来说，第1、2、3、5题（均为三步计算）的难度并不小于第2、4、6题（均为四至 五步），步骤多少不是造成复杂应用题困难的主要原因。那么主要原因在哪里？我们请有经验的数学教师（数 学教研组长、副校长）就这6个题的“典型程度”打分（每个题的典型程度是指该题在同学教材例题和习题中出 现的可能性大小），结果标明，典型程度和困难程度（正确率）呈高度相关（没有经验的教师“典型程度”评 分与困难程度相关系数偏低）。或许这能说明复杂应用题困难的最主要原因：小同学习惯于在解题时生搬硬套 教材中的例题和习题，缺乏发明性的思维技巧，因此出现对“不典型”的应用题的束手无策现象。
那么，对于典型程度不高的应用题，小同学感到困难的原因是什么呢？我们详细分析了同学解题过程中的 “出声思维”的记录，发现至少存在以下四个原因：
一、基本概念并未真正形成或熟练程度不够，所以容易错误
地判断题的类型
这一问题主要表示在中下生身上，下面是一位中下生解第4题的局部思维过程：
……用速度乘以时间，时间怎么求呢？
……不对，把整条水渠看成单位1
可以把甲队每天修的米数看成1/35，把乙队修的看成1/38，……知道怎么做了，用35与38的和去除以1/35 与1/38的和……
该生起初的思路是对的，可以把“每天挖35米”看成是速度，但由于“总长”不知道，因此无法求“时间 ”，所以该生很快否定了自身的正确思路，开始设想把整条水渠看成单位1，接下来又错误地把甲队每天修的 米数看成1/35。显然，该生头脑中的分数概念关未真正形成，至少分数概念并未达到熟练程度。1/35的真正含 义是“每米占全天工作量的1/35”，或者进一步理解为挖1米所需时间是全天时间的1/35，而不能理解成为“每 天能完成总工作量的1/35”。由于分数概念未牢固掌握，所以错误地把这个题看成是“工程问题”。
格式塔心理学家韦特海默尔(M.Weitheimer)早在1959年就发现，同学只要照搬老师的例题，就能运用“底 ×高”的公式来解决平行四边形面积计算问题，但头脑中并未真正行成“平行四边形面积”的科学概念，所以 遇到和老师画的平行四边形不同的奇特的非典型的平行四边形时，就束手无策了。他批评保守教学方法阻碍了 同学发明力的发展。
值得一提的是，运用保守方法进行教学时，同学往往凭生搬硬套就能解决基本概念问题（表示为一步计算 的应用题），而且多数情况下能得到正确答案。这样，教师无意之中强化了同学机械模仿与不深入考虑的思维习惯。
如何解决这一问题？我们认为最根本的措施是改革保守的应用题练习方法，应该用大局部时间练习那些单 凭机械模仿不能奏效的习题形式，如根据题意补充已知条件、删除多余条件，自身提出未知条件，依据数学运 算式自编应用题，说明在特定题意前提下的一个算式（或一个分数）的意义，等等。
二、不善于从整体上掌握题目中的数量关系，因此不能正确
识别题的类型
当代认知心理学家西蒙(H.A.simon)认为，解决应用题的过程是“模式识别”的过程。例如，当同学识别出 眼前的应用题是“相遇问题”，就能调用有关相遇问题的解题方法来解决眼前的题。因此，识别问题的类型就 成了解题的关键。然而，困难的题往往“伪装”得很巧妙，让人难以识别其真面目。例如，第3题，外表上看是 个“相向问题”，而实质上是个“相遇的题”。尽管此题只需三步便能计算出来，然而在我们的实验中没有一 个同学能正确列出算式。下面是一位“优生”的思维过程：
先求甲车走完AB所用的时间：205÷48，
然后乙车速度乘以这个时间就是乙车所走的路程，205÷48×52，
然后再减205就是甲车……（发现不对），
205减去乙车沿原路返回的路程……不对，怎么做呢……
甲每小时48、乙每小时52……
52×(205÷48)－205……（又发现不对）
乙车每小时比甲车多行4公里(52-48)，
甲车行了几小时？每小时多行4…
205÷4就是乙车行的时间，……乙车返回……
很显然这位“优生”未能识别这个题“实质是相遇问题”的根本原因在于他未能形成对这个问题的“整体 掌握”，只是就单个的句子进行联想或推理。假如画出下面一个示意图，就能从整体上理解题意，并因此很容 易识别出题的类型和相应的解题方法。
由此看来，如何训练同学准确理解题意，特别是从整体上掌握题目中的数量关系，是提高同学解答复杂应 用题能力的重要任务之一。我们认为，在这方面应该注意两个问题：第一，是研究同学掌握题目整体数量关系 的特点，总结出掌握题目整体数量关系的思维技巧并进行专门的训练，第二，必需使这种思维方法“条件化” 。所谓条件化，就是指知道这种思维方法在什么条件下使用。以上述第3题的“画图示”的思维方法为例，优等生应该具备了画图示的能力，却不知道什么时候应该画图示，结果该画图时，却不去画图，从而难以从整体上 掌握该题的题意和数量关系。
三、未能把解题模式笼统成为一种思维战略，所以难以识别
非典型的复杂应用题
国内的一项研究发现，许多能顺利解决下述例1问题的小同学却不能解决例2这样的问题。
例1 师傅完成某件工作需6天时间，而徒弟则需要8天才干完成，若师徒二人同时干，需多少天才干完成？
例2 妈妈上街买布，她选中了两种布，假如买第一种布，她的钱只够买6米，而买第2种布则可以买8米， 现在她决定两种布买相同数量，问两种布各可以买多少米？
这两个题是“同型的题”，为什么解第2个题困难得多呢？这是因为第一个题“典型得多”，一看便知是“ 工程问题”。但是，一些优生能顺利地解决例2，他们的思维方法是：“假如总体不知道，又要对总体按一定比 例进行划分，那么设它为1。很显然，在他们的头脑里，已经将“工作效率×工作时间＝工作总量”的应用题 解题模式上升成为一种笼统的思维战略，并且，这种战略已经条件化了，表述为“假如……那么……”，或“ 当……的时候，就……”。
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发表于 2010-4-22 13:24:00
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