小学数学思维训练连载（1-6年级）

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五年级：
      两数相除的商是3，余数是10，被除数、除数、商和余数的和是143，求被除数。


六年级：如图，正方形ABCD的面积是32平方厘米，直角三角形ADE中短的直角边是长直角边的四分之一，求直角三角形ADE的面积。

A
B

E   D
   C

谜语角：  左边18，右边11（猜一字）



数学大师：       无冕数学之王——希尔伯特
整整一个世纪前，1900年，在法国的巴黎召开了第二次国际数学家代表大会。面对数百名与会者，一位中年人从容地走上讲台，他第一句话就问道：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢？”接着，做了题为《数学问题》的著名讲演。他在讲演中提出的23个数学问题吸引了整个数学界的想象，他的判断力使人们相信这些问题在未来的岁月中一定能得到解决。一个数学工作者只要能够解决这些问题中的任何一个，都可以使自己一举成名。这位高瞻远瞩20世纪数学的演讲者就是著名的德国数学家大卫·希尔伯特。
希尔伯特的童年是在母亲的无微不至的关怀和照顾下幸福地度过的，他不同凡俗的母亲不仅给了他一般母亲的爱，还用自己颇具哲学、数学和天文学素养的思想哺育幼小的儿子，母亲的爱和知识像涓涓流水灌溉着孩子的心思。1870年，8岁的希尔伯特上学了。父母为了儿子的成长，为他选择了一所名声极好、有100多年历史的私立学校——皇家腓特烈预科学校。后来他转到了一所公立学校，这里很注重数学，甚至讨论几何学的新发展。希尔伯特感到数学是一门非常适合他心意又能带给他无穷乐趣的课程，学习数学一点也不费力，不用死记，他总能自己推导出结果。当他预科学校毕业时数学得了“超等”的最高分。老师在评语中写道：“该生对数学表现出了强烈兴趣，而且理解深刻，他用非常好的方法接受老师讲授的内容，并能有把握地灵活地应用它们。”
1880年希尔伯特迈进了哥尼斯堡大学，在这里，他可以自由地把握时间，把全部精力都给予数学。在大学里，希尔伯特受益最大的是结交了两位数学密友，一位是长他不足三岁的本校副教授阿道夫·赫维茨，另一位是小他一岁的闵可夫斯基。每天下午五点整，三个青年人相约在校园的苹果树下，在八年多的时间里，日复一日地进行着他们所钟爱的“数学漫步”，他们探索着数学王国的每一个角落，自由地交谈数学王国中发生的一切重大事情。
1895年，在数学上已颇有造诣的希尔伯特接受德国数学家克莱茵的邀请，来到哥廷根大学任教。希尔伯特的演讲比较慢，毫不修饰，简练、自然，逻辑严谨，很快吸引了学生，有时听他讲课的学生多达数百人，连窗台上都坐满了人。在20世纪初，全世界数学专业的学生的渴望就是：“打起你的背包，到哥廷根去！”在他的引导和教诲下，有许许多多才华横溢的青年跟随其后，在数学史上留下了不可磨灭的美名。希尔伯特不仅是伟大的数学家，也是了不起的数学教育学家。在他的直接指导下获得数学博士学位的多达69人，其中有不少成为20世纪著名的数学家，如柯朗、诺特、高木贞治、魏依尔、策梅罗等。
由于希尔伯特对数学的挚爱，以及不倦的求索，在20世纪的数学史中，在整个数学的版图上，到处都留下他深深的脚印。大量以他的名字命名的数学名词，如希尔伯特空间、希尔伯特不等式、希尔伯特类域、希尔伯特子群、希尔伯特公理、希尔伯特定理、希尔伯特不变积分、希尔伯特变换……不胜枚举。
希尔伯特在数学界的光辉业绩是数学史上浓墨重彩的一页，是人们无法忽略和忘怀的。希尔伯特被安葬在哥廷根河那边的墓地，克莱茵就在一旁，昔日的老朋友又相聚在这美丽的河畔，抛却世间的一切烦恼，可以钟情地研讨心爱的数学问题了。墓碑上镌刻着他在故乡的最后一次演讲中的最后一句话，那伴随着他爽朗笑声的坚定话语：我们必须知道，我们必将知道。


数学万花筒                                   黑洞数
“黑洞”是现代科学的一个大问题，它的本质至今还不十分清楚，恐怕要人们在21世纪去继续加以探讨了。
通俗一点讲，黑洞就是只进不出的天体，它的密度大得惊人。在银河系的中心，就有着一个大黑洞。奇妙的是，数学里居然也有黑洞数，而且品种繁多，不止一个。下面就来讲一讲最简单的一种——西西弗斯数。
西西弗斯是希腊古时的一个暴君，死后堕入地狱，上帝罚他做苦工，命令他把巨大的石头推上山。此人力大如牛，欣然从命，不料石头在将近山顶时忽然无缘无故地滚落下来，于是他只好重新再推，眼看快要到山顶，忽又“功亏一篑”地跌落，如此循环往复，永无尽头。
现在让我们随便选一个很大的数作为一块“大石头”，就取八位数20050421吧。我们以它为基础，变出一个新的数来。此数共有八位，其中偶数6个，奇数2个，于是得出新数628。其规则是：新数由左、中、右三部分构成，左部表示原数中偶数的个数，中间部分表示原数中奇数的个数，而右部则表示原数的位数。（其中0作为偶数）
对变出来的628作同样的变换，于是得出303；再对变出来的303作同样的变换，得出123。一旦得到123之后，就再也不变化了，好比石头已经落地，一番心血付诸东流。
如果你不信，那么就请你换上别的自然数试一试。尽管中间经过的步数有多有少，但最后总是得到123，这是一条金科玉律！
有人不服气，心想西西弗斯既然没有本事把大石头推上山去，怀里揣着一块小小的雨花石总可以吧！此人不相信123这个禁区不能突破。
于是他把一位数8作为“雨花石”来试一试。根据上面的变换规则变出新数101（8中有一个偶数，没有奇数，是一位数）。得到101之后，再变换一次，还是得到123。
真是推也不行，带也不行，铁面无私的123，对谁都不买账！

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一年级：
     （1）0只能作为一个数的个位数字，如果0出现在被乘数、乘数、除数或商中，它必然要在其它位置出现。因此，0只能是被除数的个位数。（2）如果用5以外的数作除数，□中所填数的个位必定是5，则被乘数或乘数个位必定是5，数字重复。因此，5是除数。（3）通过验算得算式：3×4=12=60÷5

二年级：

因为比10大且比20小的数中，16=4×4，所以这包奶糖共有16块。


三年级：

因为乘数是10，所以乘积是被乘数的10倍。也就是说，乘积比被乘数大10－1=9倍。而题中条件告诉我们，乘积比被乘数大630，即被乘数的9倍等于630，于是被乘数等于630÷（10－1）=70

四年级：

原来大鱼池鱼的尾数比小鱼池多600－100=500尾，当再往两个鱼池放进同样多的鱼时，大鱼池仍比小鱼池多500尾，而此时大鱼池鱼的尾数比小鱼池多5－1=4倍，所以现在小鱼池有鱼500÷4=125尾，125－100=25尾，所以应往两个鱼池里各放25尾鱼。


五年级：

根据题意列出式子：被除数+除数+商+余数=143及被除数=除数×3+10，于是得到：除数×3+10+除数+3+10=143，解得：除数=30，因此被除数=30×3+10=100

六年级：

连AC，则三角形ADE与三角形ACD的高相等，底边之比为1︰4，因此它们的面积之比也是1︰4，而三角形ACD的面积是正方形面积的一半16平方厘米，所以三角形ADE的面积是4平方厘米。


谜语角答案：     杜


益智故事：  话说悟空救出了八戒，两人正往前走着，突然刮来一股狂风，风中带有许多碎石。只见许多山羊、野兔等顺着风狂奔而来。
八戒忙问：“你们跑什么？出什么事了？”
一只山羊告诉八戒：“前面洞口贴着告示，一大堆魔王要吃我们。你长得这么肥，还不快逃？”
悟空和八戒来到洞口，果然看到了一张告示，只见告示上写着：
“山里的所有动物：我熊魔王要宴请各方魔王，你们是我做菜的原料，点到谁，谁就得赶紧来，让我们吃饱、吃好为止。这次我请来的魔王数，就在下面的算式中，其中不同的字代表不同的数：魔魔×王王=好好吃吃”
“猴哥，咱们得救救动物们。”
“可我不知道来了多少魔王，怎么打他们呀？”
“看来得请小猴哥——数学猴帮忙。” 八戒说完就大声叫喊起来。
数学猴很快就来到了他俩面前。数学猴看了看算式说：“这种横式不好看，我来把它变成竖式：      
                                                      魔 魔
×  王 王
a
b
c
a
b
c

好 好吃 吃
悟空挠挠头：“怎么又弄出外文来了？”
数学猴解释道：“引进字母是为了让运算更加简单。显然c=吃，在十位上由于b+c=吃，可知b=0。”
悟空点点头：“有道理，你接着说。”
“b=0，根据魔魔×王=abc=a0c，一定是魔×王的乘积是个两位数，而且乘积的十位数和个位数之和是10。两个一位数乘积的数字和等于10的，只有4×7=28，而2+8=10。”
“有这种事？” 八戒不信，自己要检验：“我试试。2×9=18，1+8=9，不成；3×8=24，2+4=6，也不成；……嘿，真的只有4乘7才行。”
悟空有点着急了：“快告诉我，他要请多少魔王？”
“多则74个，少则47个。”
“宁多勿少。我们就按74个准备。八戒你负责消灭23个，数学猴消灭1个，剩下的我全包了。”
八戒不高兴了：“嘿，不公平。我比数学猴多那么多。”
“我一个人要消灭50个魔王哪。快杀进去吧。”
“杀——”“杀——”洞里一片混战。
战斗结束了，数学猴清点被杀死的魔王：“熊魔王一共请来了47个魔王，加上他自己一共是48个。我杀死了2个，悟空和八戒各杀死23个。”
八戒一拍脑袋：“哇！我和猴哥杀死的魔王一样多。我又吃亏了。”
    欲知后事如何，请看下期益智故事。

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新一期思维训练营又与你见面了,不知你是否满意.如果你有什么意见或建议,欢迎来信提出.同时希望你能及时将本期的答案寄过来.   (1)平师附小学生可以直接将答案(写清班级\姓名\期数)投入前幢教学楼底楼"快乐数学"信箱内.
   (2)其他学校学生可以将答案(写清学校\班级\姓名\期数)寄给:平师附小阮雪峰老师  邮编:314200
   祝大家"五一"节快乐,学习天天进步!

一年级：
      公交汽车总站向一条线路上每隔8分钟开出一班车，第一班车早晨6时整开出，到6时48分时，这条线路上一共开出了多少班车？   



二年级：
     冬冬做作业，写语文作业用去规定时间的一半，写数学作业用去剩下时间的一半，最后5分钟读书，冬冬完成全部作业用多长时间？  



三年级：
     一只蜗牛从20厘米深的沟底往上爬，每爬4厘米要用2分钟，然后停1分钟。问蜗牛从沟底爬到沟沿上要用多长时间？   



四年级：
     小明有钱36元，小芳有钱24元，他们为希望工程捐出同样多的钱后，小明剩下的钱正好是小芳的3倍。问：两人各捐多少钱？   



五年级：
     要把一桶10千克重的汽油分成两个5千克，而手头只有两只小空桶，一只能装3千克，另一只能装4千克。想一想，应该怎样分呢？
   
六年级：
     甲乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙多行12千米，甲车行驶4个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站31.5千米的地方和乙车相遇，问甲车每小时行多少千米？   

谜语角：
3/4的倒数  （猜一成语）


数学大师：       抽象代数之母——诺特
爱米·诺特是20世纪前期德国杰出的女数学家，抽象代数学的创始人之一。在数学史上有七位著名的女数学家，被喻为“数学星空”的“七仙女”，诺特无疑是这七颗巨星中最璀璨夺目的一颗。20年代起，诺特经过勤奋钻研，写成《环和理想论》这部抽象代数现代理论的经典名著，它奠定了抽象环论的牢固基础。哥廷根活跃的学术氛围、新颖的学术成果吸引了来自世界各地的一批年青的数学家，从而使她的思想很快地在世界得到传播，使抽象代数成为与拓扑学、泛函分析共同构成现代数学理论的三大支柱。
1882年3月23日，爱米·诺特生于德国南部城镇爱尔朗根一位大学教授之家，她父亲马克斯·诺特擅长代数几何，作为这门学科的代表人物，曾经为它们的发展作出过许多重要的贡献。诺特从她父亲那里受的影响不小，但对她后来的生活历程起着决定性作用的却只有两件事。一是马克斯的犹太家史，二是他的数学家气质。二者综合成诺特特有的生活环境、成长条件，并影响到她后来的境遇。
1897年，诺特考入爱尔朗根女子学校。1900年，诺特中学毕业，经考试获得当语言教师的资格。但她没有去寻找教师的工作，因为她已经在数学上找到了精神的依托。1903年7月，诺特通过了大学入学考试，只身来到哥廷根，以旁听生的身份听取了希尔巴特、闵可夫斯基和克莱茵等人的演讲。1907年她获得博士学位，她的指导教师是大名鼎鼎的“不变量之王”果尔丹，她的博士论文《三元双二次型不变量的完全系》的结尾竟是331个用符号表示的公式，其抽象程度令数学家们都望而生畏。
1918年，诺特发表了两篇重要论文，其中一篇是黎曼几何和广义相对论中的微分不变式转化为代数不等式。这项工作对于数学的贡献，决不亚于柯瓦列夫斯卡娅的那些著名的研究。1919年，经历了20年坎坷生涯的爱米·诺特，当上了哥廷根大学的讲师。诺特淡薄名利、对数学科研潜心研究，一步步踏上了数学研究的巅峰。1932年，在苏黎世国际数学家大会上，诺特以其精练的语言、充实的内容、全新的观点作了长达60分钟的专题报告。与会数学家一致称赞她，代数学在她和她的学派的努力下，已经发展成为“公理的黄金国”。同年，诺特由于在代数和数论上的卓越成就，和德国数学家E·阿廷一同荣获了为对数学知识进步有杰出贡献的人所设立的阿尔福雷德阿克曼——陶贝尔纪念奖。
1933年，哥廷根数学中心在希特勒法西斯的摧残下彻底崩溃了，一批犹太籍科学家被出走。诺特那数学家的父亲带给她的犹太血统使她上了第一批解雇名单。诺特被迫离开工作了17个春秋、作出了大量的科研成果、培养出一批人才的哥廷根。
诺特没有迷人的外表，但她心地善良，天性友善，她独特的科学思维方式、富有成效的研究程式、丰硕的工作成果引起数学界的瞩目。她不仅在数学研究上做出了许多新贡献，而且在数学教育上也成绩卓著，她一生未结过婚，可她一直拥有一个“熙熙攘攘，吵吵闹闹”的家庭——她和学生组成的集体，范德瓦尔登、正田建次郎、曾炯等都是在她直接指导下成为著名数学家的。人们喜欢把这些数学界的后起之秀称为“诺特的孩子们”。

数学万花筒                      奇妙的连续自然数的和


如果要计算几个连续自然数的和，那是比较容易的。但如果已知一个数，请你用几个连续自然数的和来表示它，那就比较难了。因为有的数是不可以用这种形式表示的；有的则可以表示；有的还有好几种表示法。如7=3+4；2、4、8就不能用几个连续自然数的和来表示；而9呢，既可以9=2+3+4，也可以9=4+5。现在请你将10—20之间的每一个数，试一试哪个数不能用几个连续自然数的和的形式表示出来。

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一年级：

48÷6+1=8+1=9班


二年级：

由冬冬“写数学作业用去剩下时间的一半，最后5分钟读书”，可以推算出，写数学作业用去5分钟，那么5×2=10分钟，正好是“写语文作业用去规定时间的一半”后剩下的另一半时间，所以写语文作业的时间也是10分钟，冬冬完成全部作业用去的时间为5+5+10=20分钟。


三年级：

蜗牛从沟底到沟沿“爬”需要的时间是：20÷4×2=10分，休息需要的时间是：（20÷4－1）×1=4分钟，一共要用时间：10+4=14分钟。


四年级：

小明原来比小芳多36－24=12元，“他们为希望工程捐出同样多的钱后”，小明仍比小芳多12元，而此时小明比小芳多3－1=2倍，12÷2=6元可以求出小芳剩下的钱，所以他们每人捐出的钱是24－6=18元。


五年级：
    (1）先将4千克的桶倒满，再倒入3千克的空桶中，这时4千克的桶中还剩下1千克。（2）将3千克桶中的油倒回10千克大桶中。（3）将4千克桶中余下的1千克倒入3千克的空桶中。（4）再将4千克桶倒满，这样两只小桶合起来是5千克，大桶中还剩下5千克。


六年级：

31.5×2÷12=5.25（小时）求出甲乙两车从出发到相遇所用的时间，

31.5÷（5.25－4.5）=42（千米）是甲每小时行的千米数。

谜语角答案：
颠三倒四



益智故事：  上期说到悟空他们打败了魔王，悟空深有感触地说：“我要拜数学猴为师学习数学。”八戒也说：“我也要学。”数学猴谦虚地说：“咱们互相学习。”
突然，一阵狂风刮过，数学猴不见了。悟空赶忙找来土地神：“刚才一股妖风，为何怪所施？”
“回禀大圣，此乃羚羊怪所施妖法。”
“他抓走了我的人，快带我去找羚羊怪。”
土地神带悟空和八戒来到一个山洞前，只见山洞大门紧闭，门上画有一个图形。土地神告诉悟空：“羚羊怪就住在这山洞里。图上画阴影部分是对接在一起的一对羚羊角，只要算出它的面积，门就会自动打开。”


                  

八戒瘫坐在地上：“完了。原来可以找小猴哥帮忙计算，现在谁给算？”
“数学猴不在，只有咱们自己算了。”悟空说，“我们看图形的上半部分，它是由三个半圆组成的。我量了一下发现AC=CD=DB=10厘米。可是我不知道圆面积如何求。”
八戒一撇嘴：“不知道如何求，还是不会算。”
“待我化成小飞虫，飞进洞里，问问数学猴。”悟空化做小飞虫，从门缝中钻进洞里。
只见羚羊正阴阳怪气地对数学猴说：“听说你的数学特别好，你要是教会我数学，我的本事可就比悟空还大了。”
数学猴态度十分坚决：“你学习数学的动机不纯，我不教。”
“如果你不教我数学，我就用角顶死你。”羚羊怪用他的巨大的角，死死顶住数学猴的前胸。
悟空变成的小飞虫，飞到了数学猴的耳朵上，悄悄地说：“数学猴不要害怕，我是悟空，你快告诉我，圆面积如何求？”
数学猴小声地说：“可以用公式，如果圆的半径是R，圆面积S=∏R2。”
“数学猴，你等着，我马上回来救你。”
羚羊怪十分好奇：“你在和谁说话？”“我在自言自语。”
悟空飞出洞来，和八戒会合。
“我知道了。一只羚羊角形的阴影部分=以AD为直径的半圆－以AC为直径的半圆

=1/2（∏102－∏52）=∏/2（100－25）=75∏/2。”
八戒接着说：“两只对接的羚羊角形的阴影部分面积就是75∏了。”
八戒刚说完，山洞大门就自动打开了。“快去救数学猴。”
悟空和八戒齐战羚羊怪，一阵激战，悟空终于抓住了羚羊怪，刚要举棒猛打，数学猴在一旁求情：“慢。羚羊怪就是想学数学，没有害人之意，饶了他吧。”
    欲知后事如何，且看下期益智故事。

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一年级：
     小动物们都住在大象公寓里，小狗汪汪在1号楼的3楼，小兔灰灰在2号楼的4楼。一天，小兔灰灰生病了，小狗汪汪特地从家里去看望小兔灰灰。小兔灰灰可高兴啦！它想算一算，小狗从家里到自己家再回去，一共要上下多少层楼梯？

二年级：
      一路长途汽车，从起点到终点共有5个车站。一共要准备多少种不同的车票？有几种不同的票价？

三年级：
      松鼠妈妈采集的松子比小松鼠采集的松子的3倍还要多30颗，它们的颗数差是630颗。请问：松鼠妈妈和小松鼠各采集了多少颗松子？   

四年级：
      每次考试满分是100分。小明4次考试的平均成绩是90分，为了使平均成绩尽快达到或超过94分，他至少还要考多少次？  

五年级：
      一辆汽车从东村开往西村，如果每小时行40千米，可按照到达；如果每小时行60千米，可比原计划提前1小时到达。东、西两村相距多少千米？  



六年级：
      六年级男生的1/11和12名女生参加“思维训练营”培训班学习，剩下的男生是剩下女生人数的2倍。已知六年级共有学生156名，那么男生比女生多几人？  

谜语角：
7/8
（猜一成语）


数学大师：                  神奇的数学预言家——拉玛努贾
1962年12月22日印度发行了一张邮票以纪念印度的国宝——世界一流的数学家斯里尼哇沙·拉玛努贾诞生75周年。他像彗星一样划过长空，光辉夺目，又突然消失——死于肺病。他的一生是个不解之谜，他没有受过正规的大学教育，却独立地钻研数学，不断在笔记本上写下预言般的数学公式。他的知识面十分偏狭，但他在无穷级数、椭圆积分、无穷乘数、数论方面的深度却能震惊世界！
拉玛努贾生于1887年印度马德拉省的一个贫穷家庭。他父亲是一个小布店的职员，他从小爱好数学，对数学有特殊的记忆力和理解力，喜欢丢开书本独立地思考问题。在9岁时，老师在算术课中讲授：“有五个果子分给五个人，每人得一个；三个果子分给三个人，每人也得一个。由此可得，任何一个数除以本身都是得1的。” 拉玛努贾立刻站起来说：“不对，若没有果子也没有人去分，则得几个？”一个9岁的小孩竟由除法而想到0/0的问题。这时，数学奇妙的性质已引起了他的注意。13岁，别人借给他一本《三角学》，他不仅做完全部习题，而且还推导出公式eix=cos x+i sinx ,为此他十分高兴。当别人指出这就是100多年前瑞士大数学家欧拉导出的欧拉公式时，他既感到自豪又感到羞愧。自己一个乳臭未干的无知孩子，居然能与大数学家想到一块儿，难道不应该自豪吗？但是又为自己知识的贫乏而羞愧，对百年前已被人推导出的公式竟会不知，而做着重复的工作，他把这些公式的推导稿收藏起来放到屋梁上。
17岁时他获得大学奖学金。由于他偏爱数学不重视英语，所以，他在年考时因英语不及格而失去奖学金，也失去了继续上学的机会。为了谋生，他只好替人补习功课，饥一顿、饱一顿地勉强度日。在这样艰苦的条件下，他仍坚持数学研究。1911年当他23岁时，在《印度数学会月刊》上发表了第一篇论文《关于伯努利数的一些性质》。
1913年，他在朋友的帮助和怂恿下给当时著名的英国数学家哈代写了一封信，他在信中写道：“最近我读了您的一篇关于无限大的阶的文章。在第36页上，我发现迄今没有一个确定的表达式能给出不大于一个给定常数的素数个数。我找到一个公式，它非常接近于真实的结果。误差可以忽略。我恳求您能阅读信中所附的论文。”在这篇论文中他列举了自己发现的120条定理和公式。哈代花了几个小时的时间阅读了这120条定理公式，这篇由一个名不见经传的印度青年写的论文使这位数学界的泰斗大为震惊。因为在这些公式中，有一些是当时著名数学家论文中发表过的（拉玛努贾并没有什么数学文献作参考）；有一些则是十分深奥，具有开拓意义的；还有一部分公式是从未有人讨论过的。尽管有些公式表达不严格甚至有错误，但这些问题都是当时世界第一流数学家所致力于解决的。一个身居印度偏僻地方的青年业余数学爱好者无法得到系统严格的数学训练，也没有完备的图书资料，是在与世隔绝的情况下只是靠他敏锐的观察力和直觉力、强劲的思维力和记忆力，以及勤奋刻苦的精神，孤独地走过了好些数学家几十年所走过的道路。
在哈代的帮助下，1914年拉玛努贾终于到了剑桥的特里尼德学院学习和深造，从此开始了哈代与拉玛努贾长达五年之久的非凡合作。哈代用独特的方式指导拉玛努贾的学习和研究，使他很快掌握了现代分析的理论。在良好的学习和研究环境下，拉玛努贾的数学研究突飞猛进。在1914—1917年间，一共发表了21篇论文。因成就杰出，1918年他被选为英国皇家学会会员、特里尼德学院的研究员，这些荣誉可以说是一个数学家渴望的最高荣誉。此时的拉玛努贾年仅30岁。
拉玛努贾是一个虔诚的素食主义者，全身心投入研究工作使他经常忘食而处于饥饿状态，劳累和营养不良使身体的抵抗力下降，他染上了肺病，这在当时的医疗条件下是个不治之症，年仅33岁的数学奇才于1920提4月26日离开了人世。
出人意料的是，1976年美国宾夕法尼亚大学教授安德罗在访问剑桥特里尼德学院时，竟在已故的华生教授的遗物中发现了拉玛努贾的一本笔记本。经鉴定，这本笔记可能是他病重时写下的，其中竟然记录着他发现的600多个公式，但都没有给出证明。在这些公式中，有部分公式，直到50年代以后才由其他数学家独立地发现，其证明都相当复杂；还有一些公式，直到现在还未有人发现。可以说拉玛努贾这本笔记本是留给后代的一个丰富的“矿藏”，有待今后的数学家去开发。


数学万花筒                              伊丽莎白的发现
克里斯多夫是个男孩子，伊丽莎白是个女孩子，他们都是七年级的学生。外国的七年级，相当于中国的初中一年级，但外国中学生的数学程度比较浅，七年级学生的数学程度也就是中国小学六年级学生的数学程度吧。
克里斯多夫和伊丽莎白都很喜欢数学，他们尤其对自然数产生了极大的兴趣。克里斯多夫无意中发现了自然数的一个有趣的特性，他高兴地向同学们公布了这一发现：将7、8、9、10、11、12、13、14这八个连续的自然数平分成两组，第一组中四个数的平方之和与第二组中四个数的平方之和相等，请看：
72+102+122+132=49+100+144+169=462
82+92+112+142=64+81+121+196=462
所以：72+102+122+132=82+92+112+142
正当克里斯多夫为自己的这一发现而洋洋得意时，伊丽莎白却悄悄地研究5、6、7、8、9、10、11、12这八个连续的自然数。她很快就有了发现：将这八个自然数平分成两组，平方的和也会相等。即52+82+102+112=62+72+92+122=310
经过观察和计算，伊丽莎白进一步发现：任意八个连续的自然数都可以分成两组，每组四个数，其中一组四个数的平方之和与另一组四个数的平方之和一定相等。
伊丽莎白还指出了分组的方法：把八个连续的自然数按照从小到大的顺序排列，第1、4、6、7个数为一组，其余四个数为一组。例如，把3、4、5、6、7、8、9、10分成两组，其中一组是3、6、8、9，另一组是4、5、7、10。
32+62+82+92=42+52+72+102=190
伊丽莎白自豪地说：“我们女孩子一点儿也不比男孩子差。”

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一年级：

小狗住在3楼，只要走2层楼梯，小兔住4楼，只要走3层楼梯，（2+3）×2=10，只要上下10层楼梯就行了。


二年级：

由于汽车会返回，所以从任一车站上车的旅客有到其他四个车站下车的可能，即应有四种不同的车票，因此一共要准备4×5=20种不同的车票；而从甲站到乙站的票价与从乙站到甲站的票价是一样的，所以有4×5÷2=10种不同的票价。


三年级：

如果让松鼠妈妈少采集30颗，则松鼠妈妈采集的松子是小松鼠的3倍，比小松鼠多（630－30=）600颗，600÷（3－1）=300（颗）是小松鼠采集的，300+630=930（颗）是松鼠妈妈采集的。


四年级：

要考的次数少，每次所得分数要尽量高，即100分，比平均成绩94高6分；而前4次比要达到的平均成绩共少（94－90）×4=16分，16÷6=2-----4，所以至少要考3次。


五年级：

这题实际上是盈亏问题。60×1÷（60－40）=3（小时）是原定时间，40×3=120千米是东、西两村相距的千米数。


六年级：

由条件“剩下的男生是剩下女生人数的2倍”可知，剩下的女生占全体男生的5/11，（156－12）÷（1+5/11）=99（名）是男生，男生比女生多99－（156－99）=42人


谜语角答案：
七上八下



益智故事：  且说悟空一路打败众多妖怪，他突然想到：“现妖怪横行，我要回老家花果山看看，不知我的猴子猴孙是否平安？”
听说去花果山，八戒和数学猴争先恐后地说：“我也去！”“我也去！”
悟空一挥手：“咱们都去。”于是他们三人一齐回到了花果山水帘洞。只见山上花草全无，林木焦枯，山峰岩石倒塌，悟空见此情景不禁倒吸一口凉气，这是怎么啦？
花果山的猴子听说孙大圣回来了，倾巢而出，都来迎接。
悟空两目圆瞪：“怎么，出事啦？是谁敢来欺负你们？”“是群狼。”
悟空想了一下说：“我一定要找他们算账！除此之外，你们也要练一些防敌的办法。下面我来操练你们，老猴们听令。”下面站出一群老猴：“得令。”
八戒数了一下：“1，2，3，……一共有49个老猴。”
悟空听罢大吃一惊：“相我当年离开花果山时，共有47000只猴子，现在就剩下这么几个老猴了？”想到这里悟空差点落泪。
悟空命令：“49个正好能排成一个7×7的方阵。给我排出方阵来。”老猴们立即排成了一个每边有7个老猴的方阵。
操练开始，老猴们按着悟空的口令，做着各种动作。“一、二，杀！”“一、二，挠！”“一、二，咬！”
“停。”突然，悟空下令停止操练。八戒问：“练得好好的，怎么停了？”
“那一排两个老猴，实在太老了，动作跟不上口令。”
八戒说：“那还不容易，把那两个老猴撤下来就是了。”“不成。撤下两个就构不成方阵了。”
八戒又建议：“干脆把那两个老猴所在的那一排都撤下来算了。”
悟空又摇了摇头：“不成。撤下一排就不是方阵了，成了长方形阵了。而我操练的是方阵。”“那怎么办？”
数学猴接过话说：“我看同时撤下一行和一列，变成6×6方阵吧。”
八戒不等数学猴说完，就发号施令：“14个老猴撤下来……”还没等八戒把话说完，数学猴跑上去捂住了八戒的嘴，“不对，应该是13个。因为有一个老猴数行时数过他一次，数列时又数过他一次，这只老猴数重了。”
悟空又抽出一面令旗，高声叫道：“所有青壮年的猴子给我排成一个方阵。”
“是！”在悟空的号令下，青壮年猴子认真地做着动作。
突然，悟空往下一指：“那一排上三只猴子太胖，象三只笨猪。”
八戒听了噘起了大嘴：“猪就笨？猴就灵？”
突然，一只小猴跑来报告：“报告孙爷爷，一群恶狼又来袭击我们。”
悟空就地来了一个空翻：“来得正好。我和八戒带老猴方队，正门迎击。数学猴带青壮年猴子方队抄他的后路。”“这青壮年猴子方队共有多少只猴子？”数学猴问。
悟空摇摇头：“这个我不知道。我只知道同时撤下来一行和一列，共撤下来27只猴子。”
数学猴只好计算：“去掉的总猴数=原每行猴数×2－1，所以，原每行猴数=（去掉的一行一列猴数+1）÷2=（27+1）÷2=14只，方阵总数=14×14=196只。”
青壮年猴子看到狼群分外眼红，个个奋勇杀敌：“杀！挠！咬！”
悟空一马当先杀了出来：“恶狼拿命来。”群狼见悟空来了，惊恐万状，立刻跪在地上投降：“大圣饶命，我们投降。”
    欲知后事如何，且看下期益智故事。

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一年级：
      三只小狗小花、小白、小黑决定站成一排拍照片，都争着要站在中间。照相师傅长颈鹿说：我给你们每个人站在不同位置的都拍一张。请问：长颈鹿一共为他们拍了多少张照片？

二年级：
      停车场上有自行车和小轿车共9辆，数一数轮子一共有26个，问自行车和小轿车各有多少辆？   



三年级：
      甲4年前的年龄等于乙6年后的年龄，甲4年后的年龄与乙3年前的年龄之和是37岁，求甲、乙两人今年各几岁？   



四年级：

5人轮流骑3辆自行车，骑了20分钟。平均每人骑多少分钟？  



五年级：
      甲乙两人同时由A地出发到B地。甲骑车每分钟行250米，可准时到达；乙比甲每分钟多行50米，则比甲提前2分钟到达。问AB之间的距离是多少？   



六年级：
      某校六（2）班原计划选出1/5的人参加“思维训练”集训，临时又有两人要求参加，这样使实际参加集训的人数是余下人数的1/3。原计划选出多少人参加集训？   

谜语角：
1/100
（猜一成语）


数学大师：                        两个研究所的创始人——柯朗
柯朗是犹太人，1888年1月8日出生在卢布林。他在布富斯劳读中学，经高年级学生托普利兹和海林格的介绍，1907年10月他来到哥廷根。他们为了使柯朗能适应哥廷根的高科学水准，把他领到数学俱乐部去。这是阅览室旁边的一间普通的房子，却是哥廷根数学生命的心脏。在这里柯朗看到了有希尔伯特和闵可夫斯基一起参加的数学物理讨论班。当柯朗第一次做报告时，希尔伯特似乎没有注意他。第二次报告时，希尔伯特似乎很高兴。一年之后，柯朗数学研究上的显著进步，活跃的数学思想，热情、严谨的工作态度牢牢地吸引住希尔伯特的目光。
1909年希尔伯特建议柯朗做博士论文，尽量把狄利克雷原理用于一般面积问题。柯朗很快完成了。1910年2月16日由希尔伯特、沃伊特、赫斯尔组成的论文答辩委员会通过了柯朗的博士论文。为了在哥廷根留下来，在希尔伯特鼓励下，柯朗又写了《关于狄利克雷原理的方法》一文，以《数学中的存在性证明》为题作了演讲，受到了一致的好评。
1914年夏，第一次世界大战爆发，26岁的柯朗应征入伍，他走上前线，蹲过战壕，设计过通讯设备。直到1918后12月，柯朗才回到哥廷根，在德国军队里整整干了四年半。1919年，他写了一系列文章，论述微分方程的特征值，受到广泛重视。1920年，32岁的柯朗被哥廷根聘请为教授。
在整个20年代，柯朗写了大量的论文，他和希尔伯特合作发表的《数学物理方法》第一卷的出版，立即成为20世纪的数学名著。克莱茵建立起来的那个数学俱乐部，在柯朗的具体主持下，不仅坚持办下去，而且越办越好。许多学者来哥廷根讲学，世界各国优秀学生云集，达到了在哥廷根最兴旺的时期，为此柯朗花费了大量精力。1924年，克莱茵去世，柯朗继承他的志愿，筹建哥廷根数学研究所。1929年12月2日，研究所正式成立，由柯朗具体主持。在这以后，韦尔、诺特、施密特、阿廷、托普利兹、西格尔等名家相继来哥廷根工作，各国专家纷至沓来，可谓极一时之盛。
1934年8月，在希特勒上台仅仅半年，柯朗携全家离开了他早已视为祖国的德国，也带走了他卓越的才能。这一年柯朗46岁，正处于科研的黄金时代。柯朗接受了纽约州立大学的聘请，于1934年12月，全家抵达美国，开始了他的后半生。柯朗在纽约州立大学领导一个应用数学小组，简称AMP。在整个战争期间，AMP共完成了194项研究，战后都公开发表了。AMP的名声越来越大，一些人把这个组织称为“柯朗仓库”。1947年，柯朗希望将小组扩充为大学里的一个研究单位。这年夏天，他到哥廷根作一次学术访问，回来时，他看到一块牌子——纽约大学数学和力学研究所。柯朗把建设哥廷根数学研究所的经验带到纽约，纽约大学成为吸引世界数学家的名校之一。纽约大学数学研究所则被描述为“应用数学分析国家的首都”。柯朗死后，这一研究所便正式称为柯朗应用数学研究所。从哥廷根到纽约，柯朗用自己的才华建立了有历史意义的两个数学研究所。他在理论数学和应用数学两个方面做出的巨大贡献在现代数学史上留下了绚丽的一页。


数学万花筒                                             完不成的任务
有些事情听起来很轻松，事实上却出乎意料地困难，下面我们讲一个算盘的故事。算盘在我国家喻户晓，可谓人人皆知，但以后会怎么样，实在不容乐观。现今的算盘及珠算大约起源于北宋初年，约有一千多年的历史了。直到今天，它仍不失为廉价、实用、简捷的计算工具。前几年，外国曾有人用袖珍电子计算器同算盘比赛做加、减法，连赛几场下来，结果都是算盘获胜。
算盘的中间有一根横梁，梁上2珠，梁下5珠。在具体运算时先定位，然后利用口诀拨动算盘珠。熟练的人可以双手同时动作，但见算珠运转如飞，答数很快就出来了。
民间流传着一道极其简单的珠算题，谁都会做，但谁也没有做完过。有一只算盘，从右边第一档（个位）起，一颗一颗地向上拨，逢十进一，于是在第二档（十位）上就有一颗珠子；然后继续在第一档上一颗一颗地拨，第二档上的珠子就多了起来，当它满十时（说得更确切一些，是先满五，再满十，以便把梁上算盘珠也调动起来），便在第三档（百位）上拨上去一颗算盘珠。
这样依次进行，不必多说了。试问，第十档上进入一颗算盘珠时，需要用多少时间呢？
一般人认为，大概用不了几小时吧，这是他们的主观估计。现在让我们仔细算一算，其结果会使你大吃一惊。
要在第十档上进入一颗算盘珠，就要在个位档上拨动1000000000次，即十亿次。
如果平均每秒钟可以拨动2颗算盘珠，那就需要500000000÷3600≈138889（小时）
如果每天干它16小时（真是卖力之至！）那就得138889÷16≈8681（天），每年以365天计算，就相当于8681÷365≈23.8（年）
一些百年老店里的算盘，17档的不算希奇（对算盘收藏家陈宝定老先生来说，比它更大的算盘大大的有）。十七档与十档，相差七档，所以时间常数为10（7）倍，就是说，还要再乘上一千万倍，即全部所需时间大致为二亿三千八百万年！
让人类的一员独立完成这个任务，这是无论如何办不到的，真是“事非经过不知难”啊。