向高斯学习讲究计算技巧

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卡尔·弗里德里奇·高斯（1777－1855）是德国数学家、物理学家和天文学家，他对人类科学发展的影响，可以与阿基米德、牛顿并列。高斯出生在一个贫苦的家庭里，父亲原本不打算让他上学，但高斯很小就表示出在数学方面的才干。他10岁那年，数学教师布特纳要求同学求出1到100这一百个自然数的和。不一会儿，高斯就把算出了准确答案的石板交给了老师。在这之前，老师从未教过同学计算等差数列方面的知识，这就是著名的“高斯问题”。高斯年轻时就在数学方面作出了不少贡献，11岁发现二项式定理，15岁读完牛顿等数学家的著作，掌握了牛顿的微积分理论，18岁进入大学，19岁发现了用圆规和直尺进行正十七边形的作图方法，解决了悬而未决的几何难题，22岁证明了代数学基本定理，即每一代数方程必具有一个复数形式的根。24岁时，他继续证明了算术基本定理，即每个自然数均可表示为素数乘积的形式，而且这种表示方式是唯一的。他在超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论等方面都有重大贡献。面对这一系列成绩，他却谦虚地说：“假如其他人也像我那样持续不时地深入钻研真理，他们也会作出我所作的那种发现。”
假如我们今天也来解答那个著名的“高斯问题”：1＋2＋3……＋98＋99＋100＝？我想同学们大概不会采取把一百个自然数连续相加求和的方法吧，因为这个方法既不聪明又容易出错，更谈不上有什么计算技巧了。
求1至100这一百个自然数的和，可以采取头尾两数相加的方法：1＋100、2＋99、3＋98、4＋97……这样能得到50个101，用101×50便能迅速地求出它们的和是5050。当然还有其它的解法，假如我们用凑整百数的方法：1＋99、2＋98、3＋97、4＋96……便能得到49个100，再用100×49的积加上中间的数50与最后的数100，也能求出这一百个自然数的和。
假如我们展开想象的翅膀，可以把这一百个连续的自然数视为一个梯形，它的上底是1，下底是100，高是100。根据求梯形面积的公式：S＝（a＋b）×h÷2，这一百个自然数的和＝（1＋100）×100÷2＝5050。假如我们能找到这个梯形的中位线，即这一百个自然数的中间的一个数，便可以根据梯形的另一个求面积的公式：S＝m×h，这样一步就能求出得数。1至100的中间数应该在50与51之间，它是50.5，这一百个自然数的和＝50.5×100＝5050。啊！这个算法太妙了！假若德国数学家高斯还活在世上的话，他一定会坚起大拇指说：“中国的小同学真棒！”
计算的时候要认真审题，讲究计算技巧，使计算方法既正确又迅速，既合理又灵活。72×35÷36、42×54÷18，这两道题假如依照运算顺序，应该先算乘后算除，而乘或除都需要用竖式来进行计算。通过审题发现，这两道题改变其运算顺序，是不会影响计算结果的。将72×35÷36改为72÷36×35，将42×54÷18改为42×（54÷18），只需两次口算就能迅速地计算出它们的结果：72÷36×35＝2×35＝70，42×（54÷18）＝42×3＝126。再如125×12÷20，我们可以将原式改写为125×＝125×＝75。这样的例子有很多，只要我们平时重视计算的技能与技巧的培养与训练，我们也会变得越来越聪明的。 （本文作者郑俊选为中国教育学会小学数学教学专业委员会常务理事，北京景山学校特级教师。）