《3.1.1 方程的根与函数的零点》教学反思

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《3.1.1 方程的根与函数的零点》教学反思
新盈中学     龙政权
2015-11-3
“方程的根与函数的零点”是高中课程标准新增的内容，教材用了三个版面（人民教育出版社《普通高中课程标准试验教科书·数学1（必修）A版》P.86—88）介绍本课。从表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生真正理解，在教学设计和难点突破上需要下足够的功夫。
实施本节课的教学，得到一些感悟。
一、本节课的内容、地位、核心
本节课的内容就是三个“一”：一个概念（函数零点）、一种关系（函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者的等价关系）、一个定理（零点存在性定理）。它反映了方程与函数的联系，体现了“数”与形的辩证统一，增加了函数的“应用点”，体现了函数应用的广泛性，具体诠释了“数学是有用的”。本节课的核心内容是“函数零点存在性定理”，对函数零点存在的条件探究、应用定理解决函数零点是否存在及零点所在区间的求法，它是“用二分法求方程近似解”的基础，既是本节课的重点又是难点。
二、本节课的成功之处
1.新课的引入
简单介绍了章头话，说明本章的任务——运用函数的思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。
给出三个方程：（1）；（2）；（3）
这三个方程中，有学生能够用已有的十字相乘法或求根公式求解的方程（1），也有学生不能求解的高次方程（2），顺势介绍挪威天才数学家阿贝尔成功证明五次及以上的一般方程没有根式解，既渗透数学史，介绍著名数学家，激发学生学习数学的兴趣，又让学生产生疑惑，为引入新课作铺垫。而方程（3），既不能简单求解，又不是一元高次方程，因此，（2）（3）用现有方法求解的路被严严地堵上了，怎么办呢？让学生思想冲突达到顶峰，老师指明前进的方向——转换角度来研究方程的根：利用函数的性质、图象去探究方程的根的情形。引入自然，效果很好。
2.难点的突破
零点存在性定理是本节课的难点和重点，教学设计的好坏直接关系到学生对本节课的学习效果。因此，从“一个函数是否有零点，就是看它的图象与x轴是否有交点。那么，我们又如何判定一个函数的图象与x轴是否有交点呢？”的提问入手，引出零点存在条件的探究。
给出四个思考题：思考1、2是学生熟悉的一次函数、二次函数，探究函数值在零点附近的变化规律。思考3上升到抽象函数y=f(x)在区间(1,2)内一定有零点的条件选择。思考4更进一步：一般情况下，连续函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点的条件。引导学生一边画草图，一边思考，总结规律：函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点。将这一几何现象转化为代数描述：得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论：f(a)·f(b)<0。
这四个例子设计精巧，层层递进，引发了学生积极思考、探索与交流，将教学推向高潮。如此寻求函数零点存在的条件，符合学生的认知规律：从简单到复杂，从具体到抽象，让学生在具体的例题中概括出共同的本质特征，得出一般性的结论，使学生思维发生碰撞，既弄懂了问题又使数学方法得到提升。
3.课堂小结
课堂小结中为了让学生记忆深刻，巩固知识，将本节课的知识点——三个“一”归结为一首小诗：函数零点方程根，形数本是同根生。是否存在端点判，函数连续要记清。读起来朗朗上口，容易记忆，又道出了“函数零点”的定义，数形结合这一重要的的数学思想方法，指明了零点存在的条件，以及易错警醒点的提醒。
4.对引例中的方程（3）即教材例1的处理
对引例中的方程（3）即教材例1的处理，遵循教材的处理方式，为“二分法”求解方程的近似解打下基础，突出新课程理念以及该知识点在第三章中的连贯性。不能去转化为两个函数与求图象交点的横坐标而得出零点所在区间，因为这不是通理通法。
三、本节课值得思考之处
1.对学生估计不足
学生面对全国的数学专家，怯场现象明显，思维受阻，导致一些该引导学生回答的问题，老师代劳了，学生的主体作用未得到充分体现。
2.探究零点存在条件的四个思考题，出发点是很好的，倘若把它设计成填空题也许效果更好。
3.对“零点存在性定理”的辨析举例，三个例题中的（2）（3）难度偏大，应让学生给出一些已经学过的函数来作反例，而不是由老师直接给出例子。
4.对现代教育手段的使用，由于能力有限，未能象动画片那样让曲线上的动点穿过零点时，声、色都发生明显变化，刺激学生的思维，更好地辅助教学。