新人教版九年级数学上册优质课《“最大（小）面积”问题》教学设计

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名校讲义  《“最大（小）面积”问题》教学设计
北京市中关村中学　杨爱青
一、内容和内容解析

1．内容

（1）根据给定的二次函数解析式，确定其最大值或最小值；

（2）建立二次函数模型，应用（1）中的结论解决“最大面积”问题．

2．内容解析

在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高、面积最大等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．

探究1中，用总长一定的篱笆围成矩形场地，场地的面积随矩形一边长的变化而变化．场地的面积是矩形一边长与它的邻边长的乘积，用矩形一边长表示它的邻边长，从而得到场地面积随矩形一边长变化的函数解析式，并应用二次函数的图象和性质解决问题．

二、目标和目标解析

1．教学目标

（1）会根据二次函数的解析式确定图象的顶点和对称轴，并能解决简单的实际问题．

（2）通过对“最大面积”问题的探究，体会二次函数与实际的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力．

2．目标解析

（1）会依据二次函数的解析式通过配方或应用公式确定其顶点坐标，并能根据实际意义得到合乎实际的结果．

（2）能用二次函数表示问题中变量之间的关系，借助二次函数的最大（小）值解决“最大（小）面积”问题，并能通过问题的解决，进一步认识二次函数是一类解决最优化问题的数学模型．

三、教学问题诊断分析

无论是列方程（组）、不等式（组），还是借助函数解决实际问题，它们的思路和方法是一致的，最为核心的问题都是找数量关系，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量关系的是含有两个变量的等式，是把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式，并应注意实际问题中自变量的取值范围对函数最值的影响．本节课的重点是探究利用二次函数的最大（小）值解决实际问题的方法，难点是如何根据实际意义求出自变量的取值范围．

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四、教学过程设计

1．温故知新，创设情境

问题1　什么是抛物线的顶点，给出抛物线的解析式，如何求它的顶点坐标?  

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答问题．教师引导学生以抛物线的顶点是它与其对称轴的交点为主线，复习抛物线的对称性，二次函数的增减性、连续性等相关知识．

【设计意图】体会二次函数的性质，复习用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，为用二次函数的图象和性质解决实际问题做必要的准备．

给出教材49页问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

问题2　小球运动中的最大高度与什么相关？

师生活动：让学生结合函数图象独立思考，得出结论．

追问1：为什么时间的范围是？

追问2：当时，小球运动中的最大高度和最小高度分别是多少？

【设计意图】引导学生关注二次函数的最值与其顶点坐标、自变量取值范围和增减性有关．

2．提出问题，建立模型

给出教材49页探究1：用总长为60的篱笆围成矩形场地，矩形场地的最大面积是多少？

这里隐去了教材探究1中的一句话“矩形面积随矩形一边长的变化而变化”，使探究1更接近实际问题．

问题3　题中涉及哪些量，其中哪些是已知量，哪些是变量，它们之间存在怎样的关系？

师生活动：学生独立思考并回答问题．

题目中涉及到量有：矩形面积，总长为60的篱笆（矩形周长），但矩形面积和矩形周长没有直接联系，要建立它们之间的联系，需要引入矩形的长和宽两个变量．

矩形面积=长宽，2（长+宽）=60．

【设计意图】引导学生对问题进行分析，为建立函数模型做准备．

问题4　如何把文字语言翻译成数学符号语言？

师生活动：学生思考并回答问题．这里要让学生充分表达自己的观点，教师可根据学生的回答，适时提示学生关注题目中的变量、变量之间的关系，以及它们与已知量的关系．

设矩形的面积为，一边长为，则另一边长为．

依题意可得：．

【设计意图】把“探究1”符号化，为应用函数知识解决问题创造条件．

3．应用模型，解决问题

问题5　你能应用二次函数的图象和性质解决探究1中的问题吗？

师生活动：学生用公式法或配方法找到抛物线的顶点坐标，进而找到矩形面积的最大值．

【设计意图】应用函数知识解决问题．

问题6　你求出来的答案符合实际意义吗？

师生活动：学生思考并回答问题．教师可适时追问：的取值有限定条件吗？

依题意可得：解不等式组，得：．

在范围内，因此答案符合实际意义．

【设计意图】根据实际意义检验数学模型的解是否为实际问题的答案是解应用问题必不可少的一步．

4．巩固练习，学以致用

教科书习题22.3第4题．

师生活动：教师提出问题，学生思考、回答．学生展示解答过程，教师点评．

【设计意图】在完成“探究1”之后，通过类似问题让学生刚刚获取的经验得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法和过程，从而提高分析问题和解决问题的能力．

5．归纳小结，反思提高

问题7　请带着下列问题回顾探究1的解决过程，谈谈自己的感悟：

（1）你是怎样发现问题中变量之间的函数关系的？

（2）回忆以前用方程解决实际问题的过程，你能总结一下用二次函数解决实际问题有哪些步骤吗？

师生活动：学生自主发言，相互交流，教师适时引导．

【设计意图】让学生带着问题回顾解决实际问题的过程，可以提高反思过程的针对性，突出解决问题的关键节点．

6．布置作业

教科书习题22.3第1、6题．

五、目标检测设计

如图所示的矩形窗框由长的铝合金框架制成，问该窗户的最大透光面积是多少？

【设计意图】考查学生用二次函数解决“最大面积”问题．