嗮课 高三复习《直线与圆》教学设计接反思

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高三复习《直线与圆》教学设计（梗概）

张建桥

一、高考命题趋势

直线和圆是最基本的图形，是解析几何中最基本的内容，也是高考必涉及的知识点，其能力要求的层次大部分是“理解”、“掌握”，有关直线与直线、直线与圆的位置关系的题型出现的次数较多，既有填空题，也有解答题，既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力，预计在高考中直线与圆的知识仍然是考查的热点和重点．

二、教材分析

直线与圆的位置关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系．填空题与解答题都有可能出现，难度属中等偏高，客观题主要考查直线与圆的位置关系、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、弦长问题外，还考查基本运算、等价转化、数形结合思想等.预测高考仍将以直线与圆的位置关系为主要考点，考查运算能力和逻辑推理能力．

三、学情分析

学生对圆的标准方程及一般式方程掌握较好，但运算能力、等价转化、数形结合、分类讨论数学思想方法还比较弱，对公式不能灵活运用，转化思想及知识迁移能力运算能力还需要加强．

四、教学目标

1．直线与方程

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．

2.圆与方程

掌握圆的标准方程及一般式方程，能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化。理解与掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及等有关直线与圆相交的弦长问题。掌握用圆心到直线的距离 与圆的半径 比较，以及通过方程组解的个数来判断直线与圆的位置关系的方法.

（1）理解直线与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；

（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

3.让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生运动变化、辩证的观点．

五、教学重点

直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

六、教学难点

用坐标法判直线与圆的位置关系．

七、教学过程：

（一）考题统计

下面是江苏高考自2008年至2014年的7年间，每一年数学试卷考查《直线与圆》的知识点的统计情况：

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年份	2008年	2009年	2010年	2011年	2012年	2013年	2014年
填空题题号及内容	12. 直线与圆的位置关系		9. 直线与圆的位置关系	14. 直线与圆、集合	12. 圆与圆的位置关系		9. 直线与圆相交求弦长
解答题题号及内容	18. 二次函数、圆的方程	18. 直线与圆的位置关系				17. 直线与圆、圆与圆的位置关系	18. 直线与圆的位置关系

【设计意图：通过对江苏近七年高考数学题中考查《直线与圆》的内容的统计，了解这部分知识被考查的形式与侧重点，为高三一轮复习明确方向，努力做到有的放矢，科学有效．】

（二）重点知识回忆

1．倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角．

2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，当直线的倾斜角等于900，则直线的斜率不存在．

3．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件．确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围．

名称	方程	说明	适用条件
斜截式	y=kx+b	k——斜率 b——纵截距	倾斜角为90°的直线不能用此式
点斜式	y-y0=k(x-x0)	(x0，y0)——直线上 已知点，k——斜率	倾斜角为90°的直线不能用此式
两点式		(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点	与两坐标轴平行的直线不能用此式
截距式		a——直线的横截距 b——直线的纵截距	过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式	Ax+By+C=0	A，B分别为斜率、横截距和纵截距	A、B不能同时为零

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线.

4．圆的方圆的标准方程与圆的一般方程及互化．

   5. 思考：如何判断直线与圆的位置关系？

【设计意图：使学生对《直线与圆》的知识有一个整体把握，建构数学，形成系统化、网络化的知识体系．】

（三）题型与方法梳理：

1．把握直线与圆的位置关系的三种常见题型：

（1）相切——求切线；

（2）相交——求距离；

（3）相离——求圆上动点到直线距离的最大（小）值．

2．解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：

（1）数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径；

（2）等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等；

（3）待定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算过程．

3.（1）圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系；

（2）公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦．

【设计意图：渗透数学思想方法，先让学生回忆，不必强求复习基础知识时，学生就熟练这部分内容蕴含的思想方法.重点是在例题学习、练习探究中让学生提炼、感悟、总结所用到的数学思想方法.】

（四）典型例题探析

例1 （略）  

【尝试】你能用几种方法解答此题？

【解法一】

【解法二】

【解法三】

【解法四】数形结合

    （学生画出图形，利用两条切线的倾斜角之间的关系、 平分两条切线的夹角，得出直线间斜率之间的关系——由学生探究完成.）

【设计意图：独立思考，生生合作，师生互动，探究典型例题的几种解题方法，比较解决“直线与圆位置关系”的题目所用的“代数法”、“几何法”的各自特点及优缺点，体会“数形结合”的优势.】

（五）感受高考

(2014·福建卷)(略)

解析：利用待定系数法求出满足条件的k值，再利用充分必要条件的知识作答．

【设计意图：感受“原生态”的高考题的考查方向，进一步加深对上面“考题统计”的认识，体会高考多考查知识间的联系与综合，找准高三数学一轮复习的发力点.】

（六）自主探究

题目（略）

【设计意图：体会数学思想方法对解决数学问题的“统领”作用，此题要用到转化与化归、数形结合等重要数学思想方法，且综合性极强，可以说是上面“感受高考”一题的变式训练.】

（七）能力提升

  题目（略）

【设计意图：这是一道解答题，江苏数学高考一般放在第18题的位置.让学生了解这部分内容以“填空题”出现和以“解答题”出现的难易度，提高学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识和探究能力.】

（八）感悟反思：

1.《直线与圆》专题应掌握哪些基础知识？

2.这一专题蕴含哪些数学思想方法？

3.解答“直线与圆”的题目，有哪些需要注意的地方？

【设计意图：让学生及时归纳总结，养成反思的习惯，具有“算法思想”，形成程式化的解题步骤，培养分类讨论的意识，这同时也是一种数学思想方法.】

（九）反馈作业：

作业（略）

【设计意图：在学生已经较好地掌握了“直线与圆”的相关知识的基础上，通过课后独立限时练习，巩固所学知识，强化学生的解题策略意识，发展学生的思维能力，提高学生的实践能力．】

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高三复习《直线和圆》教学反思



【考点审视】

本专题是解析几何的基础，也是高考对解析几何进行综合考查的重要组成部分之一，因为直线和圆是最简单基本的几何图形。研究直线和圆的思想与方法也是解析几何研究的基本思想与方法，同时也是后继学习的基础，所以直线和圆成为高考的必考内容。命题的特点：1.本章在高考中主要考查两类问题：基本概念题和求在不同条件下的直线方程。基本概念重点考查（1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题；（2）直线的平行和垂直的条件；（3）与距离有关的问题等。此类题大都属于中、低档题，以填空题形式出现。2.直线与圆、圆锥曲线的位置关系等综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现。3.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式等代数问题往往借助直线方程进行解决，考查学生的综合能力及创新能力。应试策略：首先是注重基础，基本知识、基本题型要掌握好，不必做那些难的有关直线的问题，。解析几何解答题大多是关于直线与圆、圆与圆的位置关系的综合题，考查综合运用知识、分析问题、解决问题的能力，因此，在复习中要注意渗透本章知识在解答解析几何综合问题时的运用。

【疑难点拔】

直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念，突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，直线方程中的各个参数都具有明显的几何意义，它对直线的位置、点与直线、直线与直线、直线与圆的各种关系的研究十分重要，高考中重点考查运用上述知识解题的变通能力。在解答有关直线的问题时，要注意：

（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；

（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；

（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验不存在的情况，防止丢解；

（4）直线方程的三种形式各有适用范围，要能根据题中所给已知条件选用最恰当的表示形式，并能根据问题的需要灵活准确地进行互化，在求直线方程时，要注意需二个独立的条件才能确定。常用的方法是待定系数法；

（5）两直线的平行与垂直是现实生活中最常见到的两种特殊位置关系，故掌握它们的判断方法就显得非常重要，特别要提醒的是应把它们的判定和平面两向量共线与垂直的判定有机地结合在一起；

（6）在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法。

(7)直线方程问题是“解析几何”的基础，学习时应注意积累下面两方面的经验：①正确选择各种直线方程解决各种问题；②通过直线方程问题的解题，逐步认识“解析几何”问题的解题思维策略，积累“方程”、“坐标”、“图形”的解题经验。

能够判断直线与圆、点与圆、圆与圆的位置关系，解决直线与圆的有关问题的基本方法是将直线和圆的方程组成的方程组通过消元，化成一元二次方程，然后灵活使用判别式或违达定理解题；同时要善于利用直线和圆的几何知识解题。

直线与圆的位置关系是直线的一种重要应用，在高考中每年都有重点的考查，因此在复习时一定注意知识间的横向联系，以达到融汇贯通。

【知识方法】

1.一种方法

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；

(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

2.两个防范

(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．

(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．

3.三个性质

确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上；

(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

  【再次提醒】

    数形结合——结合图形，充分利用图形所反映的几何性质，是找到解题切入点、简化解题过程的有效途径。