二年级数学下册《有余数的除法》（和教学建议）

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教学目标 1．使同学结合具体情境，感知有余数的除法的意义。
2．使同学能够比较熟练地口算和笔算有余数的除法。
3．使同学初步学会用有余数的除法解决生活中的简单问题。
教材说明
本单元学习的主要内容有两个：一是有余数的除法的意义和用竖式计算有余数的除法；二是用有余数的除法解决生活中的简单问题，即“解决问题”。
教材内容布置如下表：

“有余数的除法”这局部内容是表内除法知识的延伸和扩展，在教材内容的布置上，一方面注重结合具体的情境，加强有余数的除法意义的认识；另一方面重视联系同学的已有经验和知识，学习有余数的除法的计算。有余数的除法要有机地体现与表内除法的联系。“有余数的除法”这局部内容还是今后学习一位数除多位数除法的重要基础，因此这局部的知识具有承上启下的作用，必需切实学好。本单元教材在编排上有下面几个特点。
1．在具体生动的情境中感受数学学习的价值。


教材中的“主题图”是每个单元数学知识信息出现的“窗口”，它为同学的学习活动提供了基本线索和丰富和背景资源。本单元的“主题图”（如上页图）以同学最熟悉的学校文化活动为场景，出现了“用盆花安排学校”、“篮球竞赛”、“跳绳活动”等具体生动的情境，引导同学学会用数学的眼光观察生活，发现生活中的“余数”现象，体验生活中的数学气息，感受到有余数的除法就在我们的身边，密切数学知识和实际生活的联系，增加这局部知识的亲切感。同时，把有余数的除法的意义和计算内容都置于实际生活的背景之下，如购书、郊游、买花等等，让同学能在具体情境中借助已有的经验和知识开展学习，激发学习的热情和兴趣，感受数学学习的价值。
2．创设同学自主建构知识的活动和考虑空间。
有余数的除法是以表内除法知识作为基础来进行学习的，它的内涵发生了新的变化，同学虽然在实际生活中有一些感性的认识和经验，但是缺乏清晰的认识和数学考虑的过程。因此，为了使同学掌握有余数的除法的意义和计算，教材有意识地注意联系同学已有的知识和经验，通过理解表内除法竖式的含义，来沟通有余数的除法和表内除法的关系，在具体情境中感知有余数的除法的意义。同时加强同学观察、猜想、想像、操作等活动，让同学在“做数学”（摆图片、探索规律）中理解有余数的除法的算理和算法，知道具体情境中的“余数表示什么？”，发现余数和除数的关系。教材内容的设计注意了为同学搭建自主学习、主动建构知识的平台，从表内除法竖式的引入到理解有余数的除法的意义和计算的算理，都布置了符合逻辑的活动和考虑空间，力求通过创设富有启发性的问题情境和探索性的学习活动，引导同学主动参与、独立考虑、自主选择、合作交流，达到理解计算有余数的除法的方法，形成计算技能，并能运用所学知识解决简单实际问题的目的。
3．内容的设计有一定的弹性，且形式多样。
教材应当满足所有同学的数学学习需求，使全体同学都能得到相应的发展。因此，内容的设计在循序渐进的过程中要有一定的弹性。本单元教材选取每个同学都熟悉的素材来开展教学，这样就保证了所有的同学都具有参与学习的经验和基础。在教学素材的组合上，既充沛考虑了知识之间的内在逻辑联系，出现方式的图文并茂、形式多样，同时又照顾了同学学习个性的需要，使学习内容有一定的选择性和自主性。例如教材的例3中提出的问题：“观察余数和除数，你发现了什么？”，在这同一问题情境下，不同层次的同学可以发现不同水平的结论。又如在教材例4的布置上，同学可以依据自身的能力选择计算有余数的除法的方法（口算或笔算）。口算和笔算的布置在教材中也是有机渗透，没有刻意地区分口算和笔算的教学，使教师可以依据同学的实际情况灵活布置。在习题的布置上，一方面在形式设计上符合低年级同学的心理特点和认知兴趣，选择富有情趣的背景，提供丰富的信息，采用多样的方式，言简意明，如对话、列表、插图等，最大程度地引起同学对学习内容的关注；另一方面在内容设计上留有同学自主选择的余地，如练习十二的第2题，第55页的“做一做”等，在编排上考虑难易适度。同时布置了一定的变式和综合运用的内容，如练习十三的第2题、第4题、第8题等，目的是加深对基础知识的掌握和运用，培养同学学会收集信息，处置信息，具体问题具体分析，灵活解决实际问题的能力。
教学建议
1．重视引导同学在具体情境中理解数学知识。
计算教学往往只重视算理、算法以和计算技能的训练，强调计算的速度和结果，而忽略了同学的学习过程、学习态度以和情感体验，忽略了计算与实际生活的联系，造成课堂气氛紧张，使计算教学变成枯燥的训练。作为教师要努力改变这一状况，在教学有余数的除法的例题时，可以利用教材提供的丰富教学资源创设真实的情境，也可以联系同学身边发生的事情编成一个个生动有趣的故事，吸引同学直观地得到结果，发现生活中的“余数”，引发同学交流和考虑，揭示有余数的除法的计算方法。这样组织教学一方面是从低年级儿童的身心特点动身，激发同学的学习兴趣，调动同学的情感投入；另一方面联系了同学的生活实际，激活了同学原有的知识和经验，如除法的认识、表内乘除法等，并让同学在具体的情境中感知余数的意义，展开想像和考虑，理解余数和除数的关系，自主沟通有余数的除法竖式和表内除法竖式的联系，学会有余数除法的计算方法。在具体情境中学习数学知识，有助于同学把笼统的学习内容形象化，有助于同学对算理的理解和相互交流，这样同学的学习经验能够充沛地调动，学习的潜能和发明性能够充沛地发挥，数学知识和数学活动经验能够充沛地获得，同学的情感态度和一般能力能够充沛地发展。
2．加强观察、操作活动的教学。
有余数的除法的意义是指导计算的基础知识，为了突出意义的教学，教材有意识地布置了一些观察和操作活动的内容。教师在教学中要注重从直观、形象、具体的资料入手，让同学经历具体问题“数学化”的过程，在观察、猜想、操作和归纳等活动中，引导同学动手、动脑、动口，调动各种感官参与学习活动，感知概念的形成，从而为计算教学做好准备。例如例2的教学，由具体情境引入后，可以先让同学想一想，再拿学具摆一摆，边摆边观察，边摆边猜想，这样分层次进行，不时强化同学的表象，不时增强同学的感性认识，然后通过相互交流，在比较、吸收的基础上进行考虑和归纳，用表象支撑同学的思维，逐步笼统出数学知识，形成同学的认知。在观察、操作活动中，要注意训练同学正确的观察方法和操作规则，做到活泼、有序和高效。
3．重视培养同学的应用意识和解决问题的能力。
数学教学应从同学熟悉的实际生活动身，从具体问题到笼统概念的形成之间，要让同学经历“问题情境──建立模型──解释、应用与拓展”的过程，要增强同学的应用意识，使同学能够运用所学的知识解决简单的实际问题，感受到数学在日常生活中的作用，培养同学解决实际问题的能力。为了实现这一目标，教学中我们应引导同学学会观察，自觉地关注身边的生活现象，充沛地感知事物后面蕴藏的数学信息，对收集到的各种数据进行合理的加工和提炼，从而发现、提出和解决问题，并加以综合运用。在例题和习题的编排上，教材提供了一幅幅图文并茂、生动有趣、联系生活的情境资料，这些内容恰当真实地反映了数学与生活的密切联系。在教学中，教师要有目的地启发同学考虑，调动同学的学习经验，分析和笼统事物的实质属性，运用不同的战略和方式进行探索和解答，使同学充沛地感受到数学的价值，体验到问题解决的乐趣，体验到数学学习的愉悦情感。
4．这局部内容可用5课时进行教学。

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本单元教材分为两个局部布置。第一局部是有余数的除法的意义和计算，包括“主题图”、例1、例2和例3；第二局部是“解决问题”即例4。
1．有余数的除法的意义和计算。
（1）主题图。
主题图通过学校里同学课外活动的情境提供了许多可以用除法计算的素材，如插旗子时按4面为一组的方式插；跳绳时，分成4人一组；打篮球的同学按5人一组进行分组；板报下面的花摆成3盆一组的形式。这些素材中，有整除的，也有有余数除法，使同学认识到二者的实质都是平均分，加强知识间的前后联系。
教学时，可以先为同学提供可用整除计算的素材，再改变被除数，引出有余数除法。等同学学会有余数的计算后，可以再让他们用主题图上的素材编题、计算。
（2）除法的意义（例1）。
教材首先布置了一幅同学安排会场摆花盆的情境图，在学校的一角摆放着一些盆花，一个小朋友说先搬15盆花，另一个小朋友问每组摆5盆，可以摆几组？布置这幅情境图的目的：一是使同学认识到数学与生活的联系，并激发同学用所学的知识解决生活中实际问题的欲望；二是从同学已有的知识入手，通过摆花盆的活动笼统出除法竖式的书写过程，使同学体会到除法竖式每一步的实际含义。
教学时，可以先让同学根据图上的内容编一个小故事，在故事的情境中让同学解决“15盆花，每组摆5盆，可以摆几组？”这样一个用除法来计算的问题，理解除法的意义；再由老师或同学介绍除法竖式的写法，并结合具体情境让同学说一说竖式中每一步所表示的意思，以和竖式中各局部的名称。
（3）有余数除法的意义（例2）。
这局部内容是在同学已经理解了除法的意义和表内除法竖式写法的基础上，通过同学安排会场的情境，在摆花盆的活动中体会到在日常生活中会遇到把一些物体平均分后，还有余数的情况，并类推出有余数除法的竖式写法。
教学时，可以让同学用23个圆片代替23盆花，每5盆为一组分一分。通过操作使同学看到：可以分4组还剩下3盆，不能正好分完，告诉同学剩下的这3盆，叫做余数。然后结合分的过程引导同学写有余数除法的竖式。着重说明在竖式中从被除数中减去分掉的数，剩下的就是余数，并介绍在横式中余数的写法和算式的读法。最后还可以让同学说说例1、例2两个竖式有什么不同。
（4）余数和除数的关系（例3）。
教材中仍然以摆花为素材，提出一系列的数学问题：假如上例中一共有16盆花，可以摆几组？多几盆？假如是17盆，18盆，…，24盆、25盆呢？其目的：一是进一步巩固有余数除法的含义和计算；二是通过同学的观察、比较、分析等活动，自身发现余数和除数的关系。
教学时可以让同学自身先算一算，还是每组摆5盆，16盆花可以摆几组？多几盆？17盆花可以摆几组？多几盆……算完后让同学观察这一组算式，说一说发现了什么？在同学充沛发表自身意见的基础上，归纳出余数与除数的关系，完成书上填空：“余数○除数”。
通过“做一做”的三道判断题，进一步明确“余数要比除数小”。
（5）关于练习十二中一些习题的说明和教学建议。
第1题，通过分羽毛球的活动，使同学体会余数的含义。教学时可以让同学画5个圈代表5个人，连线分一分或用学具代表羽毛球实际动手分一分，进一步理解余数的含义。
第2题，借助同学的生活经验来理解有余数的除法。教学时应该让同学先明确题目的要求，再让同学根据个人意愿选择一种包装方法。可以让同学用圆片代替面包，自身动手分一分，然后把结果填在书上。
第3题，这种练习有助于同学掌握除法的试商方法，应作为常规性练习。由于这样的题型是首次出现，所以先要协助同学看懂题目的要求，例如：□×6＜57，可以让同学先想一想卡片上能填几，再判断卡片上最大能填几。
第4题，练习试商和竖式的写法，让同学独立完成。
第5题，以判断题的形式出现，协助同学进一步掌握有余数的除法的计算，练习时教师可以根据同学的实际情况渗透“商×除数＋余数＝被除数”的检验方法。
第6题，这道题给出了29片扇叶的条件和工人正在装电扇的画面。教学时可以引导同学根据画面提供的信息，灵活的运用有余数除法的知识进行解答，培养同学解决实际问题的能力。
第7题，这道题是有余数的除法的练习。教学时可以先让同学根据画面明确题目的意思，再让同学用自身的方法完成，最后全班交流各自的解题方法。
第8题，练习时可以让同学看图明确题目中求彩带的长就是求“3×8＋2＝？”，教师根据同学的实际情况验证计算结果是否正确，从而让同学在解决生活问题的情景中，进一步体会有余数除法的意义。
2．解决问题（例4）。


（1）例4借助于本单元“主题图”中的“跳绳活动”，让同学在生动具体的情景中感受到运用有余数的除法的知识可以解决生活中的实际问题。图中有32个同学，每6人一组跳绳，求可以分成几组，还多几人。教材出现了两个同学的不同方法，分别是口算和笔算，目的是使同学能根据自身的情况恰当地选择计算方法。
教学时，可以动态展示情景，并配上师生对话（图中提供的文字信息以和所求的问题）。让同学通过观察描述图中所提供的数学信息，明确所求问题是“可以分成几组，还多几人？”之后，让同学在小组内讨论交流怎样解决所求问题，使同学明白要用除法解决这个问题，在同学说出算式后，老师可以板书“32÷6”，然后让同学独立算出结果，并说说是怎样算的。不论同学是用竖式计算的，还是用口算的，这两种方法教师都应该给以肯定，并鼓励同学用不同的方法计算，进而让同学谈谈自身喜欢用口算还是用笔算。这样结合具体的题目，使同学体会到在计算有余数的除法时，可以根据计算的难易程度和自身的计算能力，选择适合自身的计算方法。
（2）“做一做”中的“购买食品”是一幅信息量较大、开放性和综合性都较强的情境图。左边同学提出：“我有20元，都买矿泉水，最多可以买□瓶，还剩□元。”解答这个问题所需的两个条件图中都已出现并且是确定的，因此这个问题的答案是唯一的。而右边同学的问题“我有15元，可以买些什么呢？”由于要买的东西没指定，同学可以根据自身的喜好来确定，所以本问题具有开放性。对这个问题可以放手让同学根据图中的信息，选择自身想买的食品，算出所买食品的价钱。这里同学所买食品的种类可以是只买其中一种食品，也可以买其中两种食品，还可以买其中三种食品；而所花的钱可以正好用完，也可以还有剩余。使同学从中明确：在利用除法知识解决实际问题中，既可以出现正好整除的情况，也可以出现有余数的情况。这一素材充沛发挥了同学的主体性，适应了同学个性化学习的需要，有利于培养同学的创新意识。
完成“做一做”时，可以先出示情境图，然后教师提问：这两个同学在做什么？左边同学提出了什么问题？要解决这个问题需要了解哪些信息？你从图中能找到这些信息吗？让同学从具体情景中得出解决问题的方法，并把计算的过程和结果填写在书上。接着教师还可以再提问：右边同学提出了什么问题？假如你是这个同学，你会买些什么呢？让同学充沛发表自身的见解，然后让同学根据自身的选择，算一算最多可以买几瓶（或几个），还剩多少元。之后，教师组织同学进行汇报交流：你选择买的什么食品？最多可以买多少，还剩多少元？买哪些食品，最后没有剩余的钱？教师还可以根据同学汇报交流的情况补充提问：再加几元正好又可以买一块蛋糕呢？你是怎样想的呢？
（3）关于练习十三中一些习题的说明和教学建议。
第1题，可以根据题目要求，让同学直接把商和余数填写在横线上，全班集体订正。
第2题，要引导同学结合图来理解题意，弄清这里要做两种跳绳，一种是8米一根的长跳绳，一种是2米一根的短跳绳。先从长19米的绳子上剪掉8米做一根长跳绳，再用剩下的绳子做2米一根的短跳绳。求可以做多少根短跳绳，还剩多少米。在同学理解题意的基础上，再让同学独立列式计算。
第3题，这道题是有余数除法的实际应用。教师要引导同学明确“一星期有7天”这个隐含条件，然后再让同学列式解答第（1）问：30÷7＝4（个）……2（天）；而第（2）问是星号题，教师可以结合第（1）问的结果引导同学考虑：四月份有4个星期余2天，这余下的2天可能是这个月的哪两天？让同学明白四月份有4个星期余2天，这4个星期里有4个星期六和4个星期日，要使四月份有5个星期六和5个星期日，这余下的2天，应分别是星期六和星期日。所以4月1日是星期六。
第4～8题都是情境题。这些习题一方面借助于同学喜闻乐见的“森林餐厅”、“丛林探险”等内容，让同学感受生活，感受有余数除法的价值，感受数学学习的乐趣；另一方面还特别注重数学学习的探索性和开放性，给同学提供足够的自主探索机会和自我发明的空间，充沛发挥同学的主体意识和发明潜能。因此这些习题都需要同学认真观察，注意搜集有关信息，结合图意理解图中要解决的问题。第4题和第7题应放手让同学独立完成，完成后由同学交流自身的想法，进行自我评价。
第5题，可先给出“森林餐厅”情景图，让同学通过观察了解到：35只小动物去森林餐厅就餐，有9张空桌，每张桌子可坐4只小动物，它们都有座位吗？这道题的难度在于每张桌子可坐4只小动物不是用文字表述出来的，而需要同学从图中观察得出，因此教师要特别注意引导同学发现这一隐含的条件。在同学明确了题意后，再让同学独立列式解答，教师巡视，请不同解法的同学上台板演，可能出现下面几种解法：
（1）35÷4＝8（张）……3（只）8＋1＝9（张）
（2）4×9＝36（只），36＞35
所以都有座位。不论用哪一种方法解答都应该让同学说一说自身的解题思路。
第6题，也可以让同学观察“丛林探险”情景图，从两名同学的对话以和图中的指示牌，获得数学信息，解决“坐车”和“租船”问题。在解答第二问“该租几条船”时，要让同学结合算式44÷5＝8（条）……4（人），说一说“8条”与“4人”的含义，从而理解余下的4人还需要租一条船，所以该租8＋1＝9条船。
第8题，这是一道考虑性较强的综合题，有一定难度。教师应先让同学借助情景理解题意：花店里摆放着各种美丽的花，其中有康乃馨22枝、玫瑰16枝、郁金香10枝。这个同学想用7枝康乃馨，3枝玫瑰，2枝郁金香扎成一束，花店里的这些花最多可以扎成多少束这样的花束。在同学理解题意的基础上，再让同学通过小组合作，互相交流，确定这道题的解题战略：先分别求出这三种花分别按每7枝、3枝、2枝为一小束的束数，即，
康乃馨：22÷7＝3（束）……1（枝）
玫瑰：16÷3＝5（束）……1（枝）
郁金香：10÷2＝5（束）
再比较这三种花各自的束数，以三种花中所含束数最少的那种花的束数为规范，也就是康乃馨可分成3小束，那么这些花最多可以扎成3束这样的花束。

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教学过程：
一、创设情境，提出问题
（用多媒体课件演示同学安排联欢会会场的画面。）
让同学看情景图，描述安排联欢会会场的情景，续编安排联欢会会场的故事，并从中提炼出数学问题：一共有23盆花，每组摆5盆，最多可以摆几组？还多几盆？
二、尝试解决问题
教师：算式怎样列？为什么这样列？（板书：23÷4＝）
教师：怎样进行计算呢？请同学们用23张圆片表示23盆花，依照安排会场的要求分一分。（小组合作的形式。）
（展示同学分圆片的结果。）
教师：这3盆还能不能再分？为什么？
同学：题目要求每组摆5盆，现在只剩下3盆，给每组再分一盆，不够了，所以不能再分。
教师：23盆花，每组摆5盆，摆了4组，还剩3盆，这里剩下的3盆，就是余数。
教师：这道题的得数怎样写呢？
（让同学先说一说。）
教师：写除法得数时，要先写商4，再在商的后面打6个小圆点，写上余数3。
（板书：23÷5＝4……3）
教师：这里商4表示什么？（4组）（板书单位名称“组”。）
这里余数3表示什么？（3盆）（板书单位名称“盆”。）
教师：这道题的竖式会写吗？请同学们自身在草稿本上试着写一写。
（指名同学演板展示竖式的写法。）
全班交流，教师引导同学重点讨论竖式中各步表示的意思，介绍竖式中的余数。