小学数学《圆的面积》公开课教案

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课前谈话
师：麻老师在给自身的同学上课时，经常会在课前来一段热身，讲个小故事。我们班同学说这是“小故事，大道理”，今天咱们也来试一试。《曹冲称象》的故事，你们都知道吧？
生：知道。
师：老师有个问题不明白，原本想知道大象的重量，曹冲为什么要称那些石头呢？
生：石头的重量和大象的重量相等。
师：你说的这点很关键，必需保证石头和大象的重量相等，这样称出的石头的重量就是大象的重量。那曹冲为什么不直接称大象呢？
生：因为大象太重，不能直接称出大象的重量。
评：看似轻松随意的谈话，却体现了教者的独具匠心，教者用小故事的形式，激活了同学经验中已有的“转化”思想，巧妙地为新课的教学、为后面同学的探究提供了思维基础。

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教学过程
一、开门见山，揭示课题
师：(黑板上出示一个圆)大家看，这是什么图形？
生：圆形。
师：我们已经认识了圆，学习了圆的周长，这节课我们一起来学习圆的面积。(板书课题：圆的面积。)
评：由于同学熟悉了研究平面图形的思路：认识特征——周长——面积，所以老师采用了开门见山、直奔主题的引入方式，既有利于同学形成研究问题的思路，把新知识纳入已有的认知结构，又简洁明快，结构紧凑，为同学后面的探究提供了时间上的保证。
二、第一次探究，明确思路，体会“转化”的数学思想方法
1、圆面积概念。
师：请你想一想，什么是圆的面积呢？
生：圆的大小就是圆的面积。
2、唤醒记忆，实现方法迁移。
师：就是说圆所占平面的大小就是圆的面积。那怎么求圆的面积呢？(同学缄默)大家好像遇到了困难，请你在大脑中搜索一下，以前我们研究一个图形的面积时，用到过哪些好的方法？
生：可以把新图形转化成已学过的图形，比方平行四边形可以通过剪拼转化生长方形求出面积。
3、安排第一次探究任务。
师：那圆能不能转化成我们学过的图形呢？（能）空说无凭，请你用手中的工具、圆纸片试一试。
4、同学活动，教师巡视（约五分钟）。
评：圆与同学以前探究的长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等都有所不同，因为它是平面上的曲线图形，因此当老师提出“怎么求圆的面积呢”，同学并不能马上找到解决的方法。有的同学一开始无从下手，这时，老师没有作指导，而是把时间给同学，把探究的空间给同学，充沛相信同学能行，引导同学从头脑里检索已有的知识和方法，让同学把“圆”这个看似特殊的图形(用曲线围成的图形)与以前学过的图形(用直线段围成的图形)有机地联系起来了，沟通了知识之间的联系，促成了迁移。
5、同学反馈。
师：刚才老师发现有的小组已经有想法了。我看你们小组的想法就很好，谁代表小组上来说一说？大家认真听，看看他们是怎么想的。
生1：我们把圆纸片对折得到4个扇形，求出一个扇形的面积，但是扇形面积不会求，可以再继续折。
师：你们折成4个扇形后，为什么还要继续折？
师：看来你们已经发现问题了，继续折，折成的图形就更像三角形了。（把同学的作品贴在黑板上）

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评：其实这种方法也能推导出圆的面积，而且推导方法比较简单，但在以往《圆的面积》的公开课教案中却很少出现。麻老师能深入了解同学探究圆面积的心理，知道有的同学脑子里不是一片空白的，会根据生活经验自然而然地把圆片进行对折（这是儿童生活经验作用下的原发思维），发现和三角形类似，说明麻老师很尊重同学的下载思维。
师：这种方法多好呀，有的小组采用的方法不一样，也请他们上来展示一下。
生2：我们把一个圆剪成4个相等的扇形，把这些扇形重新拼一拼，拼出的图形有些像平行四边形。（老师也把同学的作品贴黑板上）
师：这个小组很有创意，把圆剪成4份，又重新拼成了新的图形(板书：剪拼)，刚才拼出的图形像平行四边形吗？
生：不像。
6、方法比较。
师：有点轮廓了，看来要怎么让拼出的图形更像一个平行四边形，值得研究。刚才我们有两种思路，可以把圆折一折，转化成三角形；也可以通过剪拼把圆转化成平行四边形。这两种思路有什么一起点？
生：都是想把圆这个新图形转化成已经学过的图形求出面积。
评：通过第一次探究，同学发生了两种很有价值的思路。即通过折一折，把圆转化成近似的三角形；通过剪拼把圆转化成近似的平行四边形。教师设计了“你们发现这两种方法的一起点了吗”这一关键问题，旨在引导同学通过回顾反思，达到渗透“转化”这一数学思想方法的目的。
三、第二次探究，明确方法，体验“极限思想”
1、安排第二次研究任务。
师：刚才我们发现不论是折成的三角形，还是剪拼成的平行四边形都不是很像，怎么才干更像呢？值得我们继续研究研究，请每个小组在两种思路中选择一种继续研究。
2、小组合作，教师巡视指导。
3、同学反馈。
师：各个小组都研究出结果了，谁想先来展示一下？请你们小组先说。
生1：我们把圆对折平均分成16份，折出的形状很像是三角形。
师：为什么要折这么多份？
生1：因为折成4份的话，折出的形状是扇形，和三角形相差太大。折的份数越多，折出的形状越像三角形。
师：把一个圆对折平均后16份的形状，确实更像三角开了，能让折成的图形更像三角形吗？
生：折成32份。
师：你再折试试看。
生：（不动）
师：看来同学们再继续折纸有困难了，老师在电脑上给大家演示一下。这是同学们刚才把圆平均分成16份的形状(课件演示“正十六边形”)，这一份看起来像是三角形了。现在我们再把它平均分成32份，有什么变化？(课件演示正32边形，并突出其中一份的形状。)
师：假如折成64份、128份……闭上眼睛想一下，会怎么样？
师：大家请看屏幕，把圆平均分成4份，其中的一份和三角形差得确实比较大。请大家观察把圆继续分下去时会发生什么变化。(利用课件从4份开始演示，分的份数逐渐增加。)
生：(感觉很神奇)越来越接近三角形了。
师：和大家想的一样，把圆分的份数越多，其中的一份越接近三角形。三角形的底可以看成这段弧，三角形的高可以看成是圆的半径。你们会求三角形的面积吗？
生：能！
评：操作、演示、追问、想像、贯通，层次分明。通过课件的动态演示，弥补了动手操作过程中的缺乏，让同学清晰地体验到随着等分的份数增加，得到的扇形的圆弧，逐渐在变直，并且也感受到当等分的份数无限地多下去，那么最后得到的扇形也就无限地接近三角形。

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师：用这个方法，我们胜利地把求圆转化成三角形，求出了圆的面积。刚才有的小组方法不一样，上来说一说。
生2：我们把圆平均分成8份，剪下来是8个近似的三角形，拼在一起是个近似的平行四边形。
师： (把这个小组的作品贴在黑板上)，和刚才剪成4份拼成的图形相比，有什么变化呢？
生：更像了。
师：能更像吗？有的小组有新的方法了。
生3：我们把圆剪成16份，拼成了平行四边形。(把这个小组的作品贴在黑板上。)
师：和前两次拼成的图形比，又有什么变化？
生4：更像平行四边形了。
师：这两种和刚才第一种比，更像平行四边形了，假如还要更像呢？怎么办？
生4：可以继续分下去，分成32份。
师：再像呢？
生：把圆平均分成64份，128份……
师：现在假如老师让你把圆剪成128份，有什么感觉？
生：太麻烦了。
师：我们让电脑来帮助。大家看，老师在电脑上把这个圆平均分了32份，看拼成新的图形，你有什么发现呢？(课件演示。)
生：拼成的图形更接近于平行四边形。
师：假如把圆平均分成64份呢？(课件演示。)
生：更接近于平行四边形了，有些像是长方形了。
师：把圆平均分成64份，拼成的图形有些像长方形了。大家想象一下，假如把圆分的份数再多呢？
生：拼成的图形更接近长方形。
师：大家请看屏幕(课件演示)，把圆平均分成128份，拼成的图形看起来很像长方形了，分的份数再多呢？
生：简直就是长方形了。
师：把圆剪一剪、拼一拼，得到的图形越来越接近于长方形。这样就把求圆的面积转化成了求长方形的面积。我们把圆转化成了长方形，形状变了，什么没变呢？
生：面积。
师：只要求出长方形的面积，就可以求出圆的面积。
评：当动手操作已经无法再完成时，老师用课件动态演示，弥补操作与想象的缺乏，协助同学进一步感知平均分的份数越多，剪拼成的图形越来越像平行四边形。麻老师围绕着“怎样更像”进行了一次又一次的追问，让同学充沛地体验了“极限思想”。

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四、第三次探究，深化思维，推导公式
1、安排第三次探究任务。
师：刚才同学们借助学具通过动手操作，找到了解决问题的方法。可以折一折，也可以剪一剪、拼一拼，得到学过的图形。但数学学习不能仅停留在动手操作上，还要借助数字、字母和符号等进行动脑考虑和推理。现在，老师想给大家提个更高的要求：能不能在动脑考虑的基础上推导出圆的面积计算公式呢？这可是一个很有挑战性的任务！大家有没有信心完成？
生：有！
师：刚才大家利用圆纸片折的、剪拼的图形都不太规范，老师给大家准备了屏幕上出现的这两种方法的示意图协助你考虑，大家可以对照示意图把推导的过程写在图的下面。
2、教师依照每个小组选择的方法分发学具。同学讨论，教师巡视指导。
评：操作对于小同学学习数学是必不可少的手段和方法，但数学思维的特点是要进行逻辑考虑和推理。因此在这里，麻老师用下面的这段话“数学学习不只需要动手操作，更需要借助数字、字母和符号等进行动脑考虑和推理”把同学的考虑推向深入。同时，针对同学操作结果不规范的问题，麻老师为了提高推导的正确性，设计了示意图，协助同学更加有效地推导圆面积的计算公式。
3、同学反馈。
师：这个小组迫不和待地想展示他们推导的结果了，我们一起来看看。
生1：(剪拼法)把圆剪一剪、拼一拼变成了长方形，它们的面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半，用C÷2=πr表示，宽相当于半径，用r表示。长方形的面积=长×宽，圆的面积=πr×r=πr2(实物投影出现)。
师：大家听清楚了吗？谁愿意再起来说一说。
(教师再请一个同学说自身的想法。)
师：(边讲边板书)老师也听明白了，把圆转化生长方形，面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r=πr2。现在要求圆的面积是不是很简单了？知道什么条件就可以求出圆的面积了？
生：圆的半径。
师：你们表示得真好！我们再来听一听这个小组的想法。
生2：圆的面积=C÷32×r÷2×32=2πr×r÷2=πr2。
师：你们的式子还挺复杂，能说一说每一步表示什么吗？
4、反思小结
师：你们可真聪明呀！刚才两个小组推导的结果都是πr2，真是条条大路通罗马呀。圆的面积可以用S表示，圆的面积计算公式就是：S=πr2。现在看来，求圆的面积需要什么条件就可以了？
生：圆的半径。
师：知道了半径，用π乘半径的平方就求出了圆的面积。
五、解决问题
1、师：现在你能求出黑板上这个圆形纸片的面积了吧？需要什么条件？这个圆的半径是10厘米，面积是多少呢？请大家做在练习本上。(请一名同学到黑板上板演。)(教师组织交流。)
2、师：知道圆的半径可以求出圆的面积，那么，知道直径和周长能不能求出圆的面积呢？（教师出示直径为6分米的圆和周长为12.56厘米的圆，同学考虑后说出求面积的方法，即要求圆的面积必需先根据直径或周长求出圆的半径。）
师：这些问题下一节课我们还要继续进行研究，这节课先做到这里。
评：本课重点是引导同学去经历探究圆的面积公式的过程，充沛体验“转化”和“极限思想”，所以布置比较少，虽然这节课只设计了几个基本练习来检验同学对圆的面积的理解和掌握程度，但这并无妨碍这节课的精彩。

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六、全课总结
师：时间过得很快，一节课就要结束了，大家有什么收获？
生：我会求圆的面积了，公式是S=πr2。
师：这是知识上的收获，在解决问题的方法上有没有什么收获呢？
生：可以把圆转化成学过的图形推导出圆的面积计算公式。
师：同学们不只学会了怎样计算圆的面积，更重要的是大家运用转化的方法，把圆这个新图形转化成了已经学过的图形，从而求出了圆的面积。以后大家遇到新问题，都可以尝试一下，看看能否把它转化成已经学过的知识来解决。
评：数学学习，不只是数学知识的学习，更重要的是数学思想与方法的学习。因此全课总结时，当同学回答出知识技能上的收获后，麻老师通过：“这是知识上的收获，在解决问题的方法上有没有什么收获呢？”这样的设问，引导同学一起回顾了解决问题的思想方法。这一“画龙点睛”之笔，进一步强化了本节课的设计意图。

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全课赏析
听麻老师的课，有一种很让我震撼的感觉。之所以震撼，是因为麻老师的课是我们一直想要追求的一种理想的数学课堂。他的课，大气洒脱，精彩纷呈，真正地视同学为学习的主人，真正地体现了同学的主体地位。
一、把探究作为本课重中之重
这节课，就我认为，在探索圆的面积计算公式时，最有价值的、最具有思维含量的地方是怎样让同学自身去想到把圆转化成已经学过的平面图形，而接下来的怎样让折出的图形更像三角形，怎样让剪拼出的图形更像平行四边形等等，都只是技术层面上的改进而已。而平时听的很多课，包括我们国标本苏教版的教学用书，都是老师先示范演示把一个圆平均分成16份后剪拼的过程，再让同学动手实践一次，而不是去启发同学自身想方法。
本节课，整个探究活动都是以同学为主体，教师在充沛尊重同学思维发展的过程中，适时地加以引导、点拨，使同学学习的方向始终清晰明确。课中能让同学的探的尽量让同学去探，能让同学说的就尽量让同学去说。在探究的过程中，同学思维活跃，争相交流，不时迸发出创新思维的火花，真正体会到了数学探究的魅力。
二、非常注重数学思想方法渗透。
这节课设计了三次探索，把重心放在了让同学经历探索过程，体验数学思想方法等过程性目标上，至于通过练习形成计算技能和解决实际问题的能力等都布置在以后的几个课时中去完成。初听感觉好像练习量太少了，好像忽略了知识技能的习得，但细想，知识与技能的习得可以在下节课继续通过练习获得，而同学思想方法的培养却是无法课后再补的。
相对于数学知识与技能而言，数学思想方法在同学今后的生活与工作中更具有普遍性。尤其是本节课中的转化的数学思想方法，非常有实际意义，花再多的时间也不过份。
总之，整节课，麻老师把数学之美、思维之美、探究之美，演绎得淋漓尽致。在佩服与感慨之余，也让我深深的思索：随着课程改革的不时推进，我们每一位数学老师的理念还要更新一些，步子还要更大一些，多学多思，多练多磨，多探多研，才会生成如“圆的面积”这般流水般灵动的课堂！