小学数学第五单元教材分析 数学广角

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一、抽屉原理简介
抽屉原理又称鸽巢原理， “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”
原理1：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
原理2：把多于个kn物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
原理3：无穷多个元素分成n个集合，则至少有一个集合中含有无穷多个元素。
在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。
现行的小学课本中只编排了抽屉原理1、2的教学。
二、 运用抽屉原理解题的步骤
第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“要分的物体”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉和其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
三、理解抽屉原理要注意几点
（1）抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。
（2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
（4）将a件物品放入n个抽屉中，假如a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。

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四、教学建议
1． 应让同学初步经历“数学证明”的过程。
在小学阶段，虽然并不需要同学对涉和到“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导同学用直观的方式进行“就事论事”式的解释。教学时可以鼓励同学借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过这样的方式，有助于逐步提高同学的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。
2． 应有意识地培养同学的“模型”思想。
“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。但能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来，能否找到问题中的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系是影响能否解决该问题的关键。教学时，要引导同学先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，假如可以，再考虑如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。
3． 要适当掌握教学要求。
“抽屉原理”的应用广泛且灵活多变，因此，用“抽屉原理”来解决实际问题时，有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系并不容易。因此，教学时，不必过于追求同学“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许同学借助实物操作等直观方式进行猜想、验证。

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教材解读
一、教 学 目 标
1. 经历“抽屉原理”的探究过程，初步了 解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2. 通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
二、教 学 内 容
例1比较简单的抽屉原理
把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
例2比较简单的抽屉原理
把多于个kn物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
例3抽屉原理的具体应用
“抽屉原理”的具体应用
三、教材说明和建议：
例1、把4枝铅笔放在3个文具盒里，不论怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。为什么呢？
为了解释这一现象，教材出现了两种考虑方法。第一种方法是用操作的方法进行枚举。通过直观地摆铅笔，发现把4枝铅笔分配到3个文具盒中一共只有四种情况。实际上，从数的分解的角度来说，这种方法相当于把4分解成三个数，共有四种情况，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。
第二种方法采用的是“假设法”的思路，即假设先在每个文具盒中放1枝铅笔，3个文具盒里就放了3枝铅笔。还剩下1枝，放入任意一个文具盒，那么这个文具盒中就有2枝铅笔了。这种方法比第一种方法更为笼统，更具一般性。例如，假如要回答“为什么把（n ＋1）枝铅笔放进 n个文具盒，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”的问题，用枚举的方法就很难解释，但用“假设法”来说明就很容易了。

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三、教材说明和建议：
例1、把4枝铅笔放在3个文具盒里，不论怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。为什么呢？
为了解释这一现象，教材出现了两种考虑方法。第一种方法是用操作的方法进行枚举。通过直观地摆铅笔，发现把4枝铅笔分配到3个文具盒中一共只有四种情况。实际上，从数的分解的角度来说，这种方法相当于把4分解成三个数，共有四种情况，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。
第二种方法采用的是“假设法”的思路，即假设先在每个文具盒中放1枝铅笔，3个文具盒里就放了3枝铅笔。还剩下1枝，放入任意一个文具盒，那么这个文具盒中就有2枝铅笔了。这种方法比第一种方法更为笼统，更具一般性。例如，假如要回答“为什么把（n ＋1）枝铅笔放进 n个文具盒，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”的问题，用枚举的方法就很难解释，但用“假设法”来说明就很容易了。
教学建议：
由于例题中的数据较小，为同学自主探索提供了很大的空间。因此，教学时，可以放手让同学自主考虑，先采用实践操作的方法进行“证明”，然后再进行交流。只要是合理的，都应给予鼓励。在此过程中，教师也应给予适当的指导。
教学时应有意识地让同学理解“抽屉问题”的“一般化模型”。教学时，在同学自主探索的基础上，可以引导他们对教材上提供的两种方法进行比较，考虑一下枚举的方法有什么优越性和局限性，假设的方法有什么优点，使同学逐步学会运用一般性的数学方法来考虑问题。
同学在解决了“4枝铅笔放进3个文具盒”的问题以后，可以让同学继续考虑：
把5枝铅笔放进4个文具盒，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔，为什么？
假如把6枝铅笔放进5个文具盒，结果是否一样呢？
把7枝铅笔放进6个文具盒呢？
把10枝铅笔放进9个文具盒呢？
把100枝铅笔放进99个文具盒呢？
引导同学得出一般性的结论：只要放的铅笔数比文具盒的数量多1，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。接着，可以继续提问：假如要放的铅笔数比文具盒的数量多2，多3，多4呢？引导同学发现：只要铅笔数比文具盒的数量多，这个结论都是成立的。
通过这样的教学过程，有助于发展同学的类推能力，形成比较笼统的数学思维。
例一的教学：引导同学自主探索，得出一般性结论。
1、体验方法多样
（1）枚举法：（4、0、0），（3、1、0），（2、2、0），（2、1、1），
（2）假设法：
假设每个文具盒只放1枝铅笔，最多放3只。剩下的1枝还要放进1个文具盒。所以至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。（算式）
假设法最核心的思路就是把书尽量多地“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不论放到哪个抽屉，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本。这个核心思路是用“有余数除法”这一数学形式表示出来的，需要同学借助直观，逐步理解并掌握。
2、体验方法优劣
枚举法受到数量多少的局限
假设法能够方便地解决一般性的问题
为了对这类“抽屉问题”有更深的理解，教材在“做一做”中布置了一个“鸽巢问题”。同学可以利用例题中的方法迁移类推，加以解释。
做一做：6只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？
解答：假设每个鸽舍只飞进1只鸽子，最飞进5只鸽子。剩下的1只鸽子还要飞进同一个鸽舍里。所以至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。（算式）、抽屉 、答语

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例2 教材说明
例2、把5本书放进2个抽屉里，不论怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。7本呢？9本呢？
教材提供了让同学把5本书放进2个抽屉的情境，在操作的过程中，同学发现不论怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书，从而发生探究原因的愿望。同学仍然可以采用枚举的方法，把5分解成两个数，有（5，0），（4，1），（3，2）三种情况。在任何一种结果中，总有一个数不小于3。更具一般性的仍然是假设的方法，即先把5本书“平均分成2份”。利用有余数除法5÷2=2……1可以发现，假如每个抽屉放进2本，还剩1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。
研究了“把5本书放进2个抽屉”的问题后，教材又进一步提出“假如一共有7本书，9本书，情况会怎样？”的问题，让同学利用前面的方法进行类推，得出“7本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进4本书，9本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进5本书”的结论。
在此基础上，让同学观察这几个“抽屉问题”的特点，寻找规律，使同学对这一类“抽屉原理”达到一般性的理解。
教学建议:
教学例2时，仍应鼓励同学用多样化的方法解决问题，自行总结“抽屉原理”。例如，在解决“5本书放2个抽屉”的问题时，由于数据较小，同学用动手操作或分解数的方法仍有其直观、简单的特点，这也是同学最容易想到的方法。但由于枚举的方法终究受到数据大小的限制，随着书的本数的增多，教师应该进行适当的引导。例如，可以提问同学“113本书放进2个抽屉呢？”由于数据很大，用枚举法解决就相当繁琐了，就可以促使同学自觉采用更一般的方法，即假设法。假设法最核心的思路就是把书尽量多地“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不论放到哪个抽屉，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本。这个核心思路是用“有余数除法”这一数学形式表示出来的，需要同学借助直观，逐步理解并掌握。
做一做：8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？
解答：假设每个鸽舍只飞进2只鸽子，最飞进6只鸽子。剩下的2只鸽子还要飞进鸽舍里。所以至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
同学完成“做一做”时，可以仿照例2，利用8÷3=2……2，可知总有一个鸽舍里至少有3只鸽子。
需要注意的是，例2中“某个抽屉至少有的书的本数”是除法算式中的商加“1”，而例2中除法算式的余数也正好是1，很容易让同学错误地理解成是商加“余数”，并迁移到“做一做”，想成至少有“2（商）＋2（余数）”，把结论变成“至少有4只鸽子要飞进同一个鸽舍里”。事实上，只要同学从实质上理解“抽屉原理”的推理过程，就能克服这种错误理解。
例2的教学：引导同学利用有余数除法原理的角度探索，得出一般性结论。
1、关注学习过程：操作、观察、比较、合情推理、归纳。
2、注重方法多样：
枚举法：（5，0），（4，1），（3，2）三种情况，可知在任何一种结果中，总有一个数不小于3，故总有一个抽屉里至少有3本书；
假设法：先把每个抽屉各放1本，还剩下3本，再把每个抽屉各放1本，还剩1本，这样不论怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书；也可能有同学说把5本书放进2个抽屉里，假如每个抽屉里先放2本，还剩1本，这本书不论放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书。
3、借助算式考虑。（注意用“商+1”就可以了，不是“商+余数”）
4、学会归纳总结。
5、沟通例1例2联系与区别。

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例3 教材说明
例3、盒子里同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有同色的，最少要摸几个球？
本例是“抽屉原理”的具体应用，也是运用“抽屉原理”进行逆向思维的一个典型例子。
要解决这个问题，可以联想到前两个例题中的“抽屉问题”。因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化成“抽屉问题”。假设最少要摸出a 个球， a÷2=1……b ，当b =1时， a就是最小的，此时 a=3。即至少要摸出3个球，才干保证有两个球是同色的。
教材通过三个同学的对话，指出了同学可以通过先猜想再验证的方法来解决问题，也反映了同学在解决这个问题时有可能会遇到的一些困难。例如，本例中的“4个红球和4个蓝球”很容易给同学造成干扰。
教学建议：
教学例3时，要先引导同学考虑本例的问题与前面所讲的抽屉原理是否有联系，有什么样的联系，应该把什么看成抽屉，要分放的东西是什么。但同学在考虑这些问题的时候，一开始可能会缺乏考虑的方向，很难找到切入点。此时，可以让同学先自由猜想，再验证。
例如，有的同学会猜想“只摸2个球能否保证这2个球同色”，只要举出一个反例就可以推翻这种猜想，如这两个球正好是一红一蓝时就不能满足条件。
再如，由于受到题目中“4个红球和4个蓝球”这个条件的干扰，许多同学会猜想要摸的球数只要比其中一种颜色的个数多1就可以了，即“至少要摸出5个球才干保证一定有2个是同色的”。为了验证这个猜想，同学会自觉地把“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来，把两种颜色看成两个抽屉。根据5÷2=2……1，可以知道，摸出5个球时至少有3个球同色。因此，摸出5个球是没有必要的。
在同学猜想、验证的基础上，逐步引导同学把具体问题转化为“抽屉问题”，找出这里的“抽屉”是什么，“抽屉”有几个，再应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理。例如，在本例中，根据例1中的结论“只要分的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有一个抽屉至少有2个球”就能推断“要保证有一个抽屉至少有2个球，分的物体个数至少比抽屉数多1”。现在，“抽屉数”就是“颜色数”，结论就变成了：“要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。”因此，要从两种颜色的球中保证摸出两个同色的，最少要摸出3个球。
在教学的过程中，在实际问题和“抽屉问题”之间架起一座桥梁并不是一件非常容易的事。假如同学在理解时存在比较大的困难时，也可以引导他们这样考虑：球的颜色一共有两种，假如只取两个球，会出现三种情况：两个红球、一个红球一个蓝球、两个蓝球。假如再取一个球，不论是红球还是蓝球，都能保证三个球中一定有两个同色的。
例3的教学关键是找到抽屉。
引导同学利用有余数除法原理得出答案。
进而总结一般性结论：只要摸出的球比颜色多1
1、寻找与抽屉原理的实质联系
怎样把这一问题与抽屉原理挂钩？即是要把多少个物体放进多少个抽屉里？
要摸出多少个球就是物体的个数，即要所求。
两种颜色就是两个抽屉。
结果是摸出的球数比颜色数多1，即3个球。
2、注重抽屉原理的变式训练

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做一做：
1、向东小学六年级共有370名同学，其中六（2）班有49名同学。六年级里一定有两人的生日是同一天。六（2）班中至少有5人是一个月出生的。他们说得对吗？为什么？
解答：完成第72页的“做一做”第1题时，要引导同学把“生日问题”转化成“抽屉问题”。因为一年中最多有366天，假如把这366天看作366个抽屉，把370个同学放进366个抽屉，人数大于抽屉数，因此总有一个抽屉里至少有两个人，即他们的生日是同一天。而一年中有12个月，假如把这12个月看作12个抽屉，把49个同学放进12个抽屉，49÷12=4……1，因此，总有一个抽屉里至少有5（即4＋1）个人，也就是他们的生日在同一个月。
（1）把370个物体放进366个抽屉
370÷366=1……4
（2） 把49个物体放进12个抽屉
49÷12=4……1
“做一做”第1题也是“抽屉原理”的典型例子。其中“370名同学中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类，“49名同学中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同。
2、把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取道两个颜色相同的球？
解答：要摸出多少个球就是物体的个数，即要所求。
4种颜色就是4个抽屉。
结果是摸出的球数比颜色数多1，即5个球。
关于练习十二中一些习题的说明和教学建议。
1、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有2张氏同花色的。试一试，并说明理由。
解答：第1题，可以让同学先用扑克牌操作一下，看看实验结果是否和题目所描述的一致，再对其中的原因加以考虑。我们可以用抽屉原理来解释这一现象：一副扑克牌共54张，去掉2张王牌，只剩下方块、红桃、梅花、黑桃四种花色。我们把4种花色当作4个抽屉，把5张扑克牌放进4个抽屉中，必有一个抽屉至少有2张扑克牌，即至少有2张是同花色的。
2、张叔叔参与飞镖竞赛，投了5镖，成果是41环。张叔叔至少有1镖不低于9环。为什么？
解答：相当于把41环分到5个抽屉（代表5镖）中，根据41÷5＝8……1，必有一个抽屉至少有9（即8＋1）环。
3、把红、黄、蓝三种颜色的小棒各10根混在一起。假如让你闭上眼睛，每次最少拿出几根才干保证一定有两根向同色的小棒？保证有2对同色的小棒呢？
解答：第3题中的第一个问题与例3的类型相同，只要想一共有3种颜色，至少拿出4根小棒就能保证一定有2根同色的小棒。
4、给一个正方体的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色。不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。为什么？
解答：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体6个面当作物体，要把6个面分配给两个抽屉，6÷2=3，至少有3个面要涂上相同的颜色。
（参阅课标教材教师用书和网上资料）