“±1”的妙用

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桌上放着8只茶杯，全部杯口朝上，每次翻转其中的4只，只要翻转两次，就把它们全都翻成杯口朝下．如果将问题中的8只改为6只，每次仍然翻转其中的4只，能否经过若干次翻转把它们全部翻成杯口朝下？



请动手试验一下．这时你会发现经过三次翻转就可以达到目的．说明如下：



用＋1表示杯口朝上，－1表示杯口朝下，这三次翻转过程可以简单地表示如下：



初始状态：＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1



第一次翻转：－1，－1，－1，－1，＋1，＋1



第二次翻转：－1，＋1，＋1，＋1，－1，＋l



第三次翻转：－1，－1，－1，－1，－1，－1



如果再将问题中的8只改为7只，能否经过若干次翻转（每次4只）把它们全部翻成杯口朝下?



几经试验，你将发现，无法把它们全部翻成杯口朝下．



是你的“翻转”能力差，还是根本无法完成?



“±1”将告诉你：不管你翻转多少次，总是无法使这7只杯口朝下．



道理很简单．用＋1表示杯口朝上，－1表示杯口朝下，问题就转变成：“把7个＋1每次改变其中4个的符号，若干次后能否把它们都变成－1？”考虑这7个数的乘积，由于每次都改变4个数的符号，所以它们的乘积永远不变（即永为＋1），而全部杯口朝下时7个数的乘积等于－1，这是不可能的．



道理竟是如此简单，证明竟是如此巧妙，这要归功于“±1”语言．



中国象棋中的马走日字，在对弈时你发现下面这种现象没有？



马自某个位置跳起，如果再想回到原来位置，一定经过偶次步．



“±1”语言也可帮你证明这个结果：
                 

象棋盘共有9×10＝90个位置，相邻位置用符号不同的数（＋与－1）来表示（图中所有实心圆点位置用＋1表示，余者用－1表示），那么象棋马从任何一个位置，每走一步就要改变符号．就是说，棋子马要想不变符号，必须走偶步．而马自某个位置跳起，再回到原来位置，符号不变，故得结论：马自某个位置跳起，如果再想回到原来位置，一定经过偶次步．