中学数学参赛论文论信息化时代的高中数学教学模式与方法

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几何画板，有人称其为“二十一世纪的动态几何”，在数学教学中所发挥的作用是变革性的。它不但可以模拟知识的发生过程，而且可以设计成一种实验课，让学生自己探索出公式、定理，尝试一下当发明家、数学家的滋味。在多媒体手段的支持下，我们的数学课堂教学成了一间功能齐全的“数学实验室”。
4．遵循优势互补的原则
整合不是否定过去，而是要融会贯通，要把计算机与传统教学完美地整合在一起。正确理解和处理好“传统教学与计算机手段”的作用和关系。在现代教育技术与数学教学整合的过程中，经常会遇到的问题是如何评价传统教学与计算机辅助教学。有两种极端的看法：一种是过分夸大现代教育技术与现代教育技术辅助数学教学的作用，有人提出信息时代的教学应该与粉笔与黑板说声“再见”！另一种则认为传统教学培养了一代又一代人，实践证明这种教学是成功的。为什么要否定行之有效的传统教学呢？特别是数学教学有训练人的抽象思维和逻辑思维能力的功能，他们担心现代教育技术的引入可能会带来负面影响。以上两种意见都是片面的，在实际教学中，我们应该取长补短，把传统教学与计算机辅助教学完美结合起来。
（四）中学数学CAI课件的教学设计策略
随着CAI课件在中学数学教学中的广泛运用,讲究教学策略、优化课件设计成了新的研究课题。现在许多的课件往往不能尽如人意，有的课件只是把教师要板书的内容事先输入电脑，教师成了“电影放映员”。怎样的课件才能称得上是一个好的课件？如何设计一个优秀的教学课件？
1．认真钻研教材，精心设计，确定总体的结构与教学策略
好的课件少不了精心的设计，教师要花费更多的时间在备课上，认真钻研教材，找到重难点;撰写脚本，不断修改，并且要具有创造性，大胆突破。教师一定要根据课程的需要，找到所需的各种素材，如图像，声音，动画等，这样可节省大量时间,在比较短的时间内完成一个课件的制作。
正确的课件设计应分析教学问题，需要进行教学诊断；确定总体教学策略方法；建立与班级学生实际相应的教学目标体系及层次；确定教学内容、教学顺序、媒体形式、课程结构、问题与应答等，最终明确CAI的总体结构及其教学表现策略，规划好设计框架。
2．合理选择教学内容
在日常教学中，并非所有的内容都需要借助于多媒体。教师应在分析学生实际和具体的教学内容、明确要达到的教学目标的基础上，选择适合用多媒体表现的内容，这是课件设计和使用的首要工作。对那些学生难以理解、抽象复杂、教师用语言和常规方法不易讲清，需要借助多媒体课件才能表达清楚的内容。“三角形内角和定理”的教学。先让学生随意画一个三角形，度量出每一个角的大小，求三个角的和，猜想出三角形和为180度这一命题，再让学生自行证明。这样，首先学生情感上容易接受这一知识点，其次体现了数学前后知识的联系，更重要的是使每个学生富有成就感，培养了他们的创新意识和创新能力。
3．课件设计应注意教学内容表达的多样化和优化组合
多媒体计算机的显著特点之一是能够把文字、图形、影像、动画声音、视频等多种媒介信息集成和综合，并可方便地进行操作、编辑调出、存储、处理的呈现，因此在设计多媒体CAI课件时要充分以“多媒体组合”的形式生动、动态、直观地表现教学内容，使学生身临其境、进入角色，减少信息加工转换过程，提高学习效率。

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在设计高中数学《数列》课件时，我们通过奥运冠军刘翔百米冲刺及身披国旗绕场一周的一组画面，同时显示刘翔训练和比赛的成绩引入课题，在雄壮的国歌声中，不仅使学生对“数列”有了一个初步的认识，活跃了学习气氛，同时使学生受到了很好的爱国主义教育。
各种信息媒介的表达和组合要做到优化设计、精心选择、取长补短、相辅相成。对于每一帧画面的设计从构图、组图、大小、颜色、文字、解说呈现方法等都精心设计，以符合学生的认知规律、激发学习兴趣，而有关音乐的选择也应与教学内容相吻合，载入的音频视图等都必须是自然而贴切的。过度地提供形象素材不利于学生数学思维的发展,而合理提供形象素材能有效地促进数学思维全面发展。
课件设计中注意了教学内容表达的多样化和优化组合，并合理地给学生提供形象素材，就能启发学生思维，突破教学难点，逐步形成最优化的教学结构，以较少的时间和精力取得好的教学效果。
4．课堂网络化，优化交往，尊重差异，满足多样化的学习需要
课件设计应注意充分利用多媒体的交互性，设计灵活的对话形式。网络化的课堂教学,是指教师课前制作好教学软件(提供给学生的学习软件)让学生在与计算机进行人机交互的过程中进行个性化学习的一种学习方式。教师在课件中提供大量与教学内容有关的信息，强化课件的选择与交互功能，并设置帮助信息。学生在学习过程中可以根据自己的特点选择学习的内容，确定学习的进度，必要时可以求助计算机的帮助。计算机能对学生的学习结果做出判断，并进行指导或提示，实现真正意义上的人机交互学习，通过这种自主学习提高学生自主探索问题和解决问题的能力，培养其独立性、创造性。教师借助网络组织学生交流讨论，师生间可突破空间限制，形成平等的多向的理想课堂交往模式（如图所示），教师可以通过网络有针对性地讲解与指导，从而满足多样化的学习需要。
多媒体CAI的特点之一是实时动态交互，即计算机不仅能呈现多媒体教学信息，而且能接受学习者对指定问题的回答，并对回答作出判断和评价，提供反馈信息。学生与计算机之间可以实时地相互交换信息，从而激发学习兴趣，强化认知，促使学生有效地学习。课件设计应在交互性上花功夫，设计出灵活多样的对话来。
5．课件设计应注意提供充分的操练的机会
操作、练习是掌握知识、技能的重要方法。在传统课堂里较难有充分的操作和练习的机会，而在多媒体CAI中，个别化教学则极易实现，一般教学程序中每一“小步”都要设置成相应的形成性练习或考试题，以便强化知识，并为学习定步，有时操练和练习还可以放在游戏中，以培养竞争或合作的精神，激发学习者的兴趣。例如在教学中设计问题，让学生以小组为单位完成习题，教师给小组累积得分，大大培养了小组内同学的合作精神，及小组成员的竞争精神。
另外，操作和练习还提供了测试和评价的机会，以利于教学信息的及时反馈。学习评价不仅是改善教学的途径，也是促进学习的有力手段，利用CAI进行操作、练习，测试和学习评价极为方便，可在短时间看出全班答题的正确率，普遍存在的问题，完成传统教学难以完成的工作。

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6．精心选择呈现方式， 恰当把握使用时机，演示与点拨相结合
一个多媒体课件，呈现给学生的画面并不是越多、越复杂越好，重要的是如何在把握教学重点和难点的基础上，设计出符合学生认知规律、思维特点、情感特征的呈现方式。有时一幅简单的画面就能触发学生的联想；有时一组简单、明了的动画就能排除学生的思维障碍。因此，在课件设计时，要注意内容、深度、分量的恰当，选材时要“精”；呈现方式要生动活泼，符合学生和教材内容的特点。如教学初中数学的“几何体体积”这一内容时，若播放几何体任意旋转的动画，学生就能较快地在头脑里建立起几何体的概念。如果再截出几何体横截面，将其转为正面，学生就容易理解和记住几何体体积的计算公式。
从生动的直观到抽象的思维，从感性认识到理性认识，这是人类认知的一般规律。而学生的这种认知规律是需要培养、强化的，这也是教学的一个一般目标。在多媒体课件使用上，我们应根据上述规律，从时间和空间两个维度精心安排多媒体课件的使用。要在课程导入、知识的重难点和思维的过渡与转换处适时使用多媒体课件，以引导学生的思维，强化教师的讲授，保证学生有意义的学习。
多媒体课件并不是万能的，它应该是整个教学设计中的一个有机组成部分。教学中，如果仅仅将课件播放给学生看，收效往往不大。最简单有效的使用方法是将多媒体课件的演示和教师的讲授结合起来。在呈现课件内容的过程中，教师适时插入问题，即使不期望学生回答，也能促使他们思考。
（五）几何画板与中学数学教学的整合
如何将信息技术与高中数学教学有机的结合，培养学生自主学习的能力，是我们研究的主要问题。几何画板是一个适用于几何（平面几何、解析几何、立体几何、三角函数等）教学的软件平台，它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。
几何画板操作简单，只要用鼠标点取工具栏和菜单就可以开发课件，它无需编制任何程序，一切都要借助于几何关系来表现，用几何画板进行开发速度非常快。几何画板还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境：学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。几何画板是一个"个性化"的面向学科的工具平台，这样的平台能帮助所有愿意使用信息技术的老师在教学中使用，也能帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养他们的观察能力、问题解决能力，并发展思维能力。
1．选择适当的切入点
为了充分发挥信息技术在数学教学中的特殊功能，利用计算机创设出一个赋有创造性，启发性的教学情境，如：对教学概念、定义的理解，对新知识的探索，挖掘数学的内涵，增强计算能力等方面。其中一个关键因素是选择适当的切入点，不同的教学阶段有着不同的切入点。

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(1) 高一数学用几何画板动态演示函数的图象
高一数学重点在函数的概念、图象、性质。我们将切入点安排在“学生自己动手，制作具有动态功能的函数图象”，充分发挥学生的想象力，全体学生参与制作，极大地调动了学生求知欲望，提高了自主学习的能力。在教学中我们分步骤分层次来引导学生利用几何画板来完成函数的图象：
        按定义作出函数的图象
        完善所作的图象（并验证在定义域内函数图象的正确性）
        由图象归纳出函数的性质
        验证、分析在定义域的临界点附近的函数状态
        从已作出的图象中能否挖掘出新的知识点，或进一步理解数学的内涵
例．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在[m, n]上的最值的探讨。
学生对二次函数的对称轴移动而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值”不易理解，在网络环境下，学生通过对网络课件的阅读和对a,、b、,c、m、n的动态控制，能深刻理解数学知识的要点，加上在网上的即时测试和评价，更能有效的掌握它，不再感到难以理解。又如，在三角函数的变换中，即讨论y=A sin( )的三个参数对图象的影响，在平时，仅靠师生的五点法作图是不易理解，而网络环境下，学生自主设计A、 的值，图形随你而变，规律简单易找，而且，整个过程学生自主参与，记忆深刻。网络环境下的教学可以同时满足不同用户的不同要求，培养活学活用的能力，真正实现教学以学生为中心，教学面向全体，通过互联交流、互联互动进行分层教学、个别教学，实现因材施教，体现新课标的要求。
在传统的课堂教学中，教师很难突破时间和空间的限制来组织教学。再者，由于学生在知识背景、学习方法、接受能力等多方面的差异，教师只能针对大多数学生所能理解的水平来讲课，学习好的学生“吃不饱”，学习差的学生“吃不了”，问题也不能及时地反馈，影响了教学效果，课堂学习的个别化几乎无法实现。为了改变这种状况，在教学《指数函数的图象与性质》时，利用自制课件在学校多媒体网络教室进行教学(如图)。我首先要求学生对照教材进行自学，然后在课堂上让学生自行操作，随意改变底数a的取值，并观察图象的变化情况，最后归纳出指数函数的性质。这样，学生在教师的指导下自行选择学习的方式、学习顺序和学习进度，真正实现了个别化教学。
(2)高二数学利用几何画板显示圆锥曲线定义及动点轨迹
高二解析几何圆锥曲线教学中，圆、椭圆、双曲线、抛物线的统一性教学是一个难点，通过常规媒体教学很难理解其共性，因此，我们产生了通过多媒体反映这一部分内容的想法。课件共分四个方面：
        从方程的形式看圆锥曲线的统一性，其中主要扣住二次曲线的定义。
        从点的集合观点看，抓住它们与定点和定直线距离的比是常数的特点进行演示，学生们可以任意取离心率e的值，计算机产生不同的圆锥曲线，从而使学生理解圆锥曲线的共性，并理解由于离心率e的不同而产生了四种不同的圆锥曲线。

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        从天体运行的轨道看，由于天体运动速度不同，所以运行轨道是圆、椭圆、抛物线或双曲线，通过课件展示不同的图象。
        从圆锥的截面看，运用动态的图象展示一个面从不同角度截取圆锥而得到的四种不同的圆锥曲线。使学生加深对圆锥曲线统一性的理解。
选定整合工作的切入点后，根据学生综合素质，制定可行的教学设计，利用计算机创设出赋有启发性的教学环境，设计让学生动手做数学实验环境，更有效地让学生领悟数学思想和数学方法，启发学生积极思维，引导学生自己探索、发现新知识点。在教学中，利用让学生自己动手制作具有动态图景的图象，在信息技术的支持下更有效地使学生领悟数学思想，开创了新的数学方法，启发学生更积极的思维活动，在教师的引导下学生自己发现和探索一些新和知识点。这种创新的教学模式，与传统的数学教学模式有了很大的区别。
2.充分发挥几何画板的强大功能辅助中学数学教学
随着新课改的不断推进，怎样面对将计算机与数学融为一体的数学教学? 怎样使教学更适应学生的发展需要和时代特点？几何画板就是这样的计算机辅助教学软件之一。 几何画板是探索几何学奥秘的强有力的工具。几何画板的特点是学习容易，操作简单；制作课件花时少，制作出的课件字节少，便于携带；交互性强，功能十分强大。它是一个便捷的交流工具，一个优秀的演示工具，一个有力的探索工具，一个重要的反馈工具。
（1）学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学，几何画板的应用使传统数学的教学模式得到一个根本性的变革
在传统教学中，经常会碰到一个很矛盾的问题：在课堂教学需要临时画图时，若图画得太少，则可能看不出问题的实质；若画得太多，不仅时间不允许，而且会使学生不耐烦；若事先在小黑板上画好，则无法引导学生探索结论的形成过程。因此要想安排得当，确实很为难。而利用几何画板却能轻而易举地解决这个问题。利用它，你可以作出各种神奇的图形：简单的平面图形，勾股定理的动态模型，透视图形，棋盘图形，动态正弦波，图表，等等。它的动画技术将会充分地调动学生的积极性，使学生在轻松、愉快的氛围中获得知识。

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例． 三角形相似的判定。
上课前，教师发给学生需要在课堂填写的数学实验报告。教师在与计算机相连的电视屏幕上演示了几种动态的相似三角形后提问：“谁能说出什么是相似三角形？两个三角形一旦相似就具有什么性质？”在学生回答出相似三角形定义，以及相似三角形的对应角相等对应边成比例以后，教师问道：“那么判定两个三角形相似需要几个条件、什么条件？”教师提出需要通过在“几何画板”上进行实验研究的问题，教师详细交代了实验步骤、实验的注意事项以及实验报告的填法之后，课堂的大部分时间由学生在计算机上动手实验。首先学生被要求作△ABC与△DEF,接着学生按实验报告中的要求测算∠A与∠D的度数、用鼠标调整角使这两个角相等并观察这两个三角形是否相似，以后又测算出两个角的度数并调整角使之相等。在学生观察出此时两个三角形相似之后，他们又按实验步骤的要求测算各边的长并验证对应边是否成比例。所有的学生都全神贯注地进行实验、观察，之后填写实验报告。学生们在实验后进行交流，并要求学生用当堂得到的结果画两个相似三角形。学生对这项任务非常积极，当堂有好几位同学用不同的方法画出了不同位置的相似三角形。
这节课的突出特点是学生的学习方式变了，他们不再象过去一样听教师讲“现成”的几何，而是通过活动自己获取知识。课堂教学的模式由于引进计算机发生了很大的变化。计算机能为数学教学开创一个过去不敢想象的“数学实验室”，为数学教学模式的改革开拓了思路。学生从“听”数学的学习方式，改变成在教师的指导下“做”数学。过去被动地接收“现成”的数学知识，是“填鸭式教学”，而现在象“研究者”一样去发现探索知识，是真正意义上的“研究性教学”。实践表明，通过实验，学生对有关知识的印象比过去死记硬背要深刻得多。同时由于学生通过实验、观察、猜想、验证、归纳、表述等活动，他们不仅形成对数学新的理解，而且学习能力得到了提高。
（2）用几何画板教学，更好地渗透数学思想和方法
在用几何画板的教学中能充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如几何体体积公式的推导体系，集公理化思想、转化思想、等积类比思想及割补转换方法之大成，就是这些思想方法灵活运用的完美范例。只有通过展现体积问题解决的思路分析，并同时形成系统的条理的体积公式的推导线索，才能把这些思想方法明确地呈现在学生的眼前。这对激发学生的创造思维，形成数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的。在函数图象变换的复习中，利用几何画板把散见于二次函数、反函数、正弦型函数等知识中的平移、伸缩、对称变换，引导学生运用化曲线间的关系为对应动点之间的关系的转化思想及求相关动点轨迹的方法统一处理，得出图象变换的一般结论。深化了学生图象变换的认识，提高了学生解决问题的能力及观点。

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例3：研究平行直线系y=x + b或中心直线系y=kx+2时，如图所示，分别拖动图（1）中的点A和图（2）中的点B时，可以相应的看到一组斜率为1的平行直线和过定点（0，2）的一组直线（不包括y轴）。在图形的变化过程中，不仅使学生深刻理解了两个直线系的方程，还在不知不觉中培养了学生“运动变化”与“数形结合”等数学思想。而这个课件只需要一二分钟即可完成，但它的动态效果却是传统板书讲演的教学模式所无法比拟的。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。
（3）用几何画板教学，更好地培养学生的创新思维
创新思维是开发大脑的一种发散思维过程，它是把某种有一定“依据”的“空想”变为“现实”的大脑活动过程，是通过思索（考虑探求），以概念﹑判断﹑推理﹑设计﹑指导实践等形式来反映客观事实的能动过程。创新要求一切从实际出发，正确把握客观事物的本质与规律，打破思想禁锢，打破习惯势力和传统偏见的束缚，勇于探索，勇于开拓。
例：函数 在区间A上单调递减，它的反函数为 ，如果这两个函数的图象有交点，这些交点一定在直线y=x上吗？这是一个老问题，以 为反例，即可解决。
但如果加上一个条件： 和 不恒相等，命题还成立吗？这是一个脑子灵活的学生的反问。由于只要给出函数的解析式，几何画板就能画出任何一个初等函数的图象，还能作出动态控制参数变化的函数图象，所以这件事就好办多了。
在同一坐标系中作出函数 和函数 的图象，其中的参数a可动态控制，让学生自已去拖动、去观察，最后发现，当a非常小时它们有三个交点，此时无需更多的语言，如果再让学生去思考方程  的解的个数，更是水到渠成。
几何画板在数学教学中所发挥的作用是变革性的。它不但可以模拟知识的发生过程，而且可以设计成一种实验课，让学生自己探索出公式、定理，尝试一下当发明家、数学家的滋味。笔者不知道数学家是如何发现“三角形的垂心P、重心G、外心Q在一条直线上，且PG=2GQ”这一结论，当初如果有了几何画板，这件事至少要好办得多。
在多媒体课上，学生有的是改变不同的变量来观察、探索不同的结果，有的学生设计出来的图象，提出的问题老师都无法解释，老师只好和学生一起课后进行研究，学生用几何画板设计的图像让老师和同学们惊叹。在多媒体教学中，利用几何画板制作课件已经使数学教学的过程发生了重大的变化。几何画板使数学的课堂教学进入一个更新的阶段。