导数在实际生活中的应用学案

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3.4　导数在实际生活中的应用（1）      

【学习目标】

1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；

　  ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题

【学习过程】

一、自学预习：（预习的时候，你要认真看书，多思考，多和同学讨论，取长补短，相信你一定能学得很好！）

1、温故：

1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个         ，记作y极大值=f(x0)，x0是            

2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个          ，记作y极小值=f(x0)，x0是           

3.极大值与极小值统称为            

4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:

若 满足 ，且在 的两侧 的导数    号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“            ”，则 是 的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“              ”，则 是 的极小值点， 是极小值

5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)

(2)求方程f′(x)=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值

6.函数的最大值和最小值:在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值．⑴在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值（为什么？）． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个没有

7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求 在 内的极值；⑵将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值

二、课堂训练：

例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？









   















例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

































变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

提示：S=2 + h=

V(R)= R =  

)=0   ．

例3在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）、如果C(x)＝ ，那么生产多少单位产品时，边际 最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？

























变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为 ．求产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

































三:巩固训练

1、课本第84页练习1、2、3、4

2.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.













3.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？















4.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.























5.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大

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3.4 导数在实际生活中的应用

【学习目标】

       1.通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决设计问题中的作用

       2.通过对实际问题的研究，促进学生分析问题，解决问题的能力

【学习过程】

一、自学预习：（预习的时候，你要认真看书，多思考，多和同学讨论，取长补短，相信你一定能学得很好！）

1、常见函数的求导公式为：











2、如何利用导数求一个函数在闭区间上的最值和极值，写出一般步骤：













　　3、.把长60cm的铁丝围成矩形，当长，宽各为多少时，矩形面积最大？















　　　二、课堂训练

例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 cm，得箱子容积

  ．

下面利用导数的知识求出其答案：















解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

．（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

事实上，可导函数 、 在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值



例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

S=2πRh+2πR2

由V=πR2h，得 ，则

S(R)= 2πR + 2πR2= +2πR2

下面利用导数的知识求出其答案：

















因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？















例3强度分别为a,b的两个光源A,B它们之间的距离为d,试问：在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）。























例4在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）、如果C(x)＝ ，那么生产多少单位产品时，边际 最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)

（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？















变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为 ．求产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．























三、课后巩固

1.使内接椭圆 =1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.

2.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大

答案： 4. a  b  5. R

3.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？











五、回顾小结