优质课教学设计 抛物线的标准方程教案

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课题:抛物线的标准方程(2课时)

【教学目的】：

1、掌握抛物线中的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量；

2、能够熟练画出抛物线的草图，进一步提高学生“应用数学”的水平；

【教学重点】：抛物线的标准方程   

【教学难点】：抛物线标准方程的不同形式

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教    具】：多媒体、实物投影仪

【教学过程】：  

一、复习引入：

1、回顾椭圆和双曲线的定义

2、生活中抛物线的引例：

3、把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F   用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线

二、讲解新课：

1、 抛物线定义：

平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线

  注: (1)定点 不在这条定直线 ；

       (1)定点 在这条定直线 ，则点的轨迹是什么？

2、推导抛物线的标准方程：

如图所示，建立直角坐标系，设 （ ）,

那么焦点 的坐标为 ，准线 的方程为 ，

设抛物线上的点 ，则有

化简方程得

   方程 叫做抛物线的标准方程

（1）它表示的抛物线的焦点在 轴的正半轴上，焦点坐标是 ，

它的准线方程是   

   （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： ， ， .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下   

3、抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出 （ ），则抛物线的标准方程如下：



(1) , 焦点: ，准线 ：

(2) , 焦点: ，准线 ：

(3) , 焦点: ，准线 ：

(4) , 焦点: ，准线 ：

相同点：(1)抛物线都过原点；

(2)对称轴为坐标轴；

(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称； 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即 ；

不同点：(1)图形关于 轴对称时， 为一次项， 为二次项，

方程右端为 、左端为 ；

图形关于 轴对称时， 为二次项， 为一次项，

方程右端为 ，左端为   

（2）开口方向在 轴（或轴）正向时，焦点在 轴（或 轴）的正半轴上，方程右端取正号；

开口在 轴（或 轴）负向时，焦点在 轴（或 轴）负半轴时，方程右端取负号

三、讲解范例：

例1 （1）已知抛物线标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程

　   （2）已知抛物线的焦点坐标是 （0，－2），求它的标准方程

分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用 的代数式表示的，所以只要求出 即可；

　　（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出 ，问题易解。

解析：（1） ，焦点坐标是（ ，0）准线方程是 ．

（2）焦点在 轴负半轴上， ＝2，

所以所求抛物线的标准议程是 ．

例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程：

（1）焦点坐标是F（－5，0）

（2）经过点A（2，－3）

分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况

解：（1）焦点在x轴负半轴上， ＝5，

所以所求抛物线的标准议程是 ．

（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．

点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝

点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝

∴所求抛物线的标准方程是 或x2＝－ y

例2 已知抛物线的标准方程是（1） ，（2） ，

求它的焦点坐标和准线方程．

分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数 的值．

解：（1） ，焦点坐标是（3，0）准线方程

（2）先化为标准方程 ， ，焦点坐标是（0， ），

准线方程是 .

四、课堂练习：

1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

（1）y2＝8x     （2）x2＝4y  （3）2y2＋3x＝0 （4）

2．根据下列条件写出抛物线的标准方程

（1）焦点是F（－2，0）      

（2）准线方程是

（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上

（4）经过点A（6，－2）

3．抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标

点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p表示焦点到准线的距离故p＞0；   （3）根据图形判断解有几种可能

五、小结 ：小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念；  

六、课后作业：

七、板书设计（略）