小数研究：关于数学课程走向的思考

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关于数学课程走向的思考
引  言
当前，我国基础教育课程改革的形势很好。这样说是基于以下几个标志性的事件：  第一，有史以来，我国第一次召开了“课程改革经验交流会”，这是对我国正在进行的课程改革的全面总结和有力推动；第二，温家宝总理在百忙之中到北京市第35中学整整听了5节课，足见教育问题在中央决策层的地位；第三，著名科学家钱学森先生去世前最后提出的问题“中国的教育为什么培养不出杰出人才”，即“钱学森之问”对中央的触动很大；第四，在课程大会上，教育部副部长陈小娅说了一句非常有分量的话：课程改革“开弓没有回头箭”，掷地有声，字字千金。之后，《人民教育》第22期刊登了《课程改革再出发》的署名文章，正是对课程改革“开弓没有回头箭”含义的一个解读；第五，教育部新任部长袁贵仁上任后第一次接见媒体所讲的问题是“教育均衡发展问题”，他说“教育不均衡主要是教师的不均衡，学生择校择的是教师”，所以他提出解决教育均衡发展问题的新举措——教师流动。这使我们看到了希望。这些事件聚集在一起，给我们一种踏实的感觉。经过七八年的教育改革之后，我们又要向前迈一步。这一步可能是决定性的，决定“钱学森之问”能不能得到有效的解决，我们能不能创造出有利于创新人才成长的环境，能不能真正培养出有创新能力的人才。
最近《人民教育》发表了我的《当前数学教育应当关注的几个问题》，我上半年在《中国教育报》上也撰文提出“小学数学应当放眼长远，注重长效”，都是想说明为什么要考虑数学课程的走向和发展问题。
我们先从华人世界里最有名的数学家丘成桐谈起。丘成桐说：“我喜欢读《史记》，《史记》像一部美妙动听的歌剧。我可以大段地背诵：‘高山仰止，景行行止。’这是对孔子的敬仰。”“历史是宏观的考察。用宏观的观点考察数学，就会有深刻的思想出来。我常常提出和别人不同的观点，得益于对历史的宏观考察。”数学家的大气从哪儿来呢，就是有宏观的考察。众所周知，数学发展经历了四个高峰：古希腊，牛顿发明微积分，希尔伯特的公理化思潮，计算机以后的数学应用和大规模的综合。我们现在所处的就是计算机以后的数学应用和大规模的综合时期。这一时期的产品如：混沌、孤立于、分形、小波、计算的复杂性、费马大定理的证明……都和社会发展、经济发展、技术应用息息相关，和人们的生活质量紧紧联系在一起，这些产品差不多都是宏观的大范围思考的产品。
再看中国数学的现状怎样，是不是符合这个潮流呢?数学家吴文俊在上海《解放日  报》上撰文指出：中国20年来有哪些“叫得响”的数学成果?不敢说!有没有像华罗庚那样的大师?不敢说!丘成桐也说我们“差得还很远”。数学家田刚在上海《文汇报》上发表这样的看法：数学不同于体育竞技，不能光靠技巧，更多的应是对数学的兴趣和不懈的毅力。……“奥数”能培养数学家?……
上面这些依据似乎可以得出这样的结论：基本的技能技巧我们可能还行，但我们不够大气，缺少一点想法。具体到数学课程，我们确实需要回答这样的问题：数学怎样才能培养学生的创新意识?目前我们的数学教学基本上还停留在第三高峰期之前，而我们的发展方向一定要把基本素质、宏观理解尽收视野之中。所以要有改革。但在改革的道路上又有一些困惑，如：数学教育是大众教育还是精英教育?教学评价的标准是什么?学科教育、素质教育、创新教育的关系是怎样的?是三种教育还是一种教育?功利性扭曲着对教育的价值判断，数学教育的理论与实践研究还显得匮乏，等等。随着新课程的推进，我们长期积累的研究成果消化得非常快，新的经验又没有积累起来，成熟度也不够。评价考试制度没有根本的变化，命题理论说明没有大改变，还是考知识点，还是长考卷，仍然是经过“大运动量训练”者占便宜，等等。
身处这样的环境，面对种种困惑，我们该如何思考数学课程的走向问题呢?

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目标决定数学课程的走向

    数学课程的目标体系在《义务教育法》、《基础教育课程改革纲要(试行)》和《数学课程标准(实验稿》》中都有具体刻画。但是不管用什么样的语言刻画，说得通俗一点，作为数学课程的目标一定涵盖以下三个方面：一是为学生继续接受教育作准备。小学教育一定要为初中教育做好准备，这是毫无疑问的。比如小学要把直线的内容学好，到了中学才能更好地学习平行、欧式几何的推理等等。

    二是与学生的职业和生活有关。我们往往特别关注为学生的升学作准备，而忽视数

学学习与学生的职业和生活之间的关系。而这一点在小学里尤为重要。因为小学里学的数学知识对学生一辈子都有实际的用处，都跟他们的职业和生活密切相关。这一点比中

学、大学更明显。

三是有助于学生成长为一个好市民。这一点与素质教育、创新教育、学科教育都有关系。我们不能指望仅仅通过设立品德与生活之类的课程来锤炼一个人的德行，一定而且只有通过学科课程才能真正落实做人的准则。数学课程的一些功能是其他课程很难承

载的，如求实、探索、自信、责任、条理，等等。

    以上三点，不仅是数学也是所有学科课程都要注重的目标。如果一定要权衡这三个

目标中哪一个更重要，我觉得后面两个一定比第一个更重要。难道不是这样吗?事实上不一定每个人都有升学的需求和可能，但每个人都要生活，每个人都要做好人。而只盯

着第一个目标的教育必然是考试教育，基于上面的分析，我们不能让这样的教育决定数

学课程的方向。

在数学课程领域如何落实以上三个方面的目标呢?

    第一，让数学积淀成素养。数学不应该仅仅是考试的利器，数学应该成为伴随学生

一生的积淀。第二，让学生、公众接受和喜欢数学。能够被学生、公众接受和喜欢的数学究竟是什么样子的?这个问题值得思考。现在的学校数学和以前相比肯定是更能让学生接受了，而伴随着学生的接受公众往往会有一些疑问。第三，让学校数学插上“发现”的翅膀。学校教育有责任让学生去“发现”数学，为他们埋下创新的种子。

具体怎么办呢?一是要让学生学到现实的、有用的数学。数学已经发展到了第四个高峰期，学校数学应该更多地与现实和生活联系在一起。但什么样的数学是现实的、有用的，仍需要我们思考和研究。二是开始尝试抽象的、理论的数学。三是逐步体会数学的思想、方法。在此基础上，发展有中国特色的数学课程。

改革决定数学课程的走向

    我国基础教育课程改革是由政府主导，自上而下展开的。我们要办成“建设创新型  国家”需要的教育，改革由政府主导应该是很自然的事情，没什么可大惊小怪的。《基础教育课程改革纲要(试行)》中两句话最重要，一句是使学生“具有初步的创新精神、实践能力”。它指明了新一轮课程改革要收获什么，这是把中国建设成一个强国的基础。另一句是“培养学生终身学习的愿望和能力”。党中央一直在倡导科学发展观，科学发展的基础是可持续发展。可持续发展包含社会可持续发展、文化可持续发展、经济可持续发展、环境可持续发展，等等。如果用——句话来解释教育的可持续发展，就是把我们的培养目标紧紧盯住“终身学习的愿望和能力”。如果学生的一生都有学习的愿望，并且有学习的能力，他怎么能不持续发展?如果我们把人的可持续发展逐步落到实处，那么环境、经济、社会、文化就都有·了持续发展的基础。“创新精神、实践能力”“终身学习的愿望和能力”体现了宏观和大气的时代要求，指出了数学课程科学、和谐、可持续发展之路。所以说，改革决定数学课程的走向。必须坚持改革，倒退没有出路。要坚定不移地往前走，开弓没有回头箭，就是摔跟头也要往前摔才行。无论是放眼世界，还是从学生出发，我国数学课程改革的方向都没有问题。广大教师身体力行地贯彻数学课程标准的要求，就是在落实我们的教育目标，就是在走一条数学课程的可持续发展、科学发展之路。当然，有些细节如果再推敲得好一些，课程改革运行起来会更润滑。

    曾经—段时期对数学课程有很多争论。小学里争论比较多的问题是应用题教学的取

舍、运算速度的要求，学生的数学能力是否有弱化倾向等。有争论，不要紧。改革不是无条件的服从。我们可以在统一的目标框架下讨论、碰撞，形成一些共识。其实，中国关于课程改革的争论放在国际平台上可能就不能算是争论了。例如，美国有“数学战争”，两种不同观点的学者之间“打”得很厉害，甚至美国教育部的官员来中国，都要同中国的教育官员、学者讨教。日本关于数学教育的争论经常在国际性的会议上看到，同台讲话，政府的、民间的各自声音都非常尖锐。中国数学家对数学课程改革的担心，说明他们对数学课程改革的关注和参与。我们以前都是一个声音，现在有不同的声音，这是一件好事。在课程改革实施的过程中，学校、教师之间也会有一些困惑与争论，在大方向一致的前提下具体问题都可以讨论。每次争论，都会使数学课程的发展提高一个层次；每次争论，都会使我们每个人的头脑更加清楚。争论常常促使我们去思考眼前没有关注的问题。对小学数学，我们就在争论中形成了一些共识：如数学应当包含思考、质疑；数学要有趣、有用，贴近生活。尤其是小学阶段的数学，要改变枯燥的面目，把学生吸引在数学周围，抽象化也要一点一点的来。数学应该跟上时代，数学不只是“考试数学”，应该和学生的职业、生活有关，等等。

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把改革作为数学课程发展的方向，实际上也是由争沦得出的必然结论。我们的数学  课程改革兼顾了公民的数学素质与精英人才的培养。如果坚持走改革方向的话，熊掌和  鱼都能兼得。美国能源部部长、诺贝尔物理学奖获得者朱棣文说过“喜欢和好奇比什么  都重要”。我们的新课程不就是在培养、保护学生的喜欢和好奇吗?如果这种喜欢和好奇  能够延续到学生后续的成人生活中去，那么我们的数学课程就成了一大片“发现的土壤”。土壤越肥沃、越开阔，越容易冒出杰出人才啊。实践已经证明，选几个好苗子单独去培养的办法基本是行不通的。坚持改革，从学生出发，关注每一个学生，给学生更多发现的机会和可能，实际就是袁隆平培养“超级稻”的路子。我们不能说这么做就一定能够培养出中国的爱迪生，但我们一定要有充分的自信，这样做的结果是：当国家需要有人站出来的时候，一定有人能站出来，一定不会使我们这个民族的创新精神捉襟见肘。而不这么做的结果还真不好说。关键是具体怎么做，有如下建议：

    一是重建数学教学模式。

我们熟悉的教学模式是凯洛夫的“五环节教学法”：复习、导人、新授、巩固、作业，根深蒂固，但这个教学模式需要改造和发展。荷兰数学家弗赖登塔尔认为：数学教学的目标一个叫“精神实体”，一个叫“实体”。比如长度是一个实体，但是长度有一个精神实体，那就是为什么要学习长度，长度在哪里，长度是怎么表现的等。如果把这些事情想清楚的话，就是一个从为什么开始一步一步走向抽象长度的探索过程。弗赖登塔尔的结论是精神实体比实体重要。这个观点和凯洛夫正好相反，但非常有道理。如果长度、面积、体积都这么研究，积淀下来的就不仅是面积、体积计算的方法，而是可以称之为“创新意识”的东西。但目前完全按照弗赖登塔尔说的去做，一方面对教师提出了很大的挑战，另一方面很难被我们的教学传统所接受。比如，我们特别讲究教学目标和教学计划，如果完全由学生去发现、探索，教学时间会拉得很长，空间也会拓得很大。因此，我们可以在凯洛夫的教学环节中融人弗赖登塔尔的教学思想，走出一条有中国特色的数学教学之路。

凯洛夫“五环节教学法”的第一个环节是“复习”，我们现在是将复习和提问题联系在一起。数学课程标准修订时特别提出培养学生“发现和提出问题”的能力，质疑就是提出问题。第二个环节“导入”一般是举例，弗赖登塔尔认为通过举例说明概念是没有用的。我们可以把导入和创设情境融合在一起，不是简单地举几个例子，而是通过情境创设思考和发现的空间。第三个环节是“讲授”，但灌输式肯定不行，要师生互动，采取启发式。第四个环节是“巩固”，通常是做一些练习。在课中和课后通过练习进一步理解、巩固。现在我们增加一些反思、总结，这样的巩固就不同于单纯通过做题而实现的巩固，质量大大提升。第五个环节是“作业”。现在的作业不仅包括一些传统的被动式作业，还增加了主动学习的成分。作业中的有些问题是开放式、探索式的，需要同学之间商量、合作，需要跟家长探讨，需要上网查找资料，有的可能还要到现场去调查，等等。

课程改革正在逐步形成一个有中国特色的、既兼顾传统又面向未来、既立足现实又融入现实数学教育思想的一个崭新的教学模式。这个模式虽然还需要磨练、积累、丰富，  但是雏形已经形成了。这一教学模式和传统教学模式的本质区别是摈弃了灌输式，实现  了启发式，使得探索与发现贯穿学习的始终。在我们的日常教学行为中，已经初步实现了这个模式的价值。这一模式具体可用下图表示：   



传统的模式是呈现一个数学问题，教师讲授数学概念、方法，然后巩固练习。现在是先呈现一个情景，引导学生把情景描述成数学问题，这里有一个“转化”的过程；再通过探索，逐步发现新的概念、方法；有了新的概念、方法，实现了问题的解决；然后再回到情景中，通过描述得到新的问题。这是一个循环的系统，上面方框部分仍然是传统的教学部分，目前我们已经在一定程度上实现了上述循环，但需要让它运行得更润滑，更有效，还要不断在实践中摸索经验。不断经历这样的学习过程，无疑有助于学生创新意识的形成，也使学生能够比较自然地从数学问题过渡到抽象的数学概念、方法。虽然需要教师的引导，也需要一些提炼和转换的工作，不过核心的思想和方法有可能被学生自己发现。

二是重新认识数学能力。

    传统的认识是三大数学能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，其中逻辑思维能力是核心，以及在此基础上逐步形成的分析问题和解决问题的能力。课程标准修订过程中提出两大能力：提出和发现问题的能力，分析和解决问题的能力。传统的三大能力中的“传统”，不是中国的传统，而是前苏联的传统。前苏联的克鲁切茨基在《中小学生数学能力心理学》一书中提出九个方面的数学能力：把数学材料形式化、概括数学材料发现共同点、运用数学符号进行运算、连贯而有节奏的逻辑推理、缩短推理结构进行简洁推理、逆向思维能力、思维的灵活性、数字记忆、空间概念。美国数学课程标准对数学能力的刻画包括：问题解决、推理与证明、数学交流、数学知识的联结、数学表示等能力。我国高中数学课程把发现和提出问题、分析和解决问题的能力细化成十大能力：数学感觉与判断、数据收集与分析、几何直观与空间想象、数学表示与数学建模、归纳猜想与合情推理、逻辑思考与演绎证明、数学联结与数学洞察、数学计算与算法设计、数学语言与数学交流、理性思维与体系构建。这十大能力既兼顾了传统的能力提法，也吸收了一些新的能力提法，其中每一条都可以在小学找到影子。因此，要从小学开始培养学生的数学能力，而数学能力的培养又要从发现和提出问题、分析和解决问题开始。

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三是改造数学问题。

第一，“对、快、准”需科学考量。小学的数学问题特别是练习，通常用“对、快、准”作为评估标准。有的教材对某些题的要求就是“看谁做得又对又快”。严格要求没问题，只是缺少科学的考量。学生的学习负担加重，学习压力加大，很多跟“对、快”的考量没有科学依据是有关系的。比如口算，课程标准要求20以内的加减法口算速度是每分钟8—10题，而有的练习册却要求每分钟60题，而且一到六年级所有的口算都是这个量，这就是缺少科学的考量。这样练下去岂不把人练残废?而且数学枯燥到这个程度，谁还会总喜欢数学?改造数学问题，必须对一些传统的提法有所思考，提出一些科学的依据。我们可以要求“又对又快”，但量要适度，课程标准给了一个参考值，我们可以在自己的实践中对此进行科学的鉴定。

    第二，应用题与解决问题不是一回事。过去教学大纲提出13种应用题的类型，都不是真正的应用，而是练习的题型，因为大部分类型在现实生活中都不存在，都是人为编造的结果。这些类型着眼于训练学生综合解决问题的能力，训练学生的机智程度。还有一些像效率问题、路程问题，研究的是数量之间的关系，不是应用，刻画的是规律，说成应用题并不恰当。对于很多教师依依不舍的应用题，我们需要弄清它的来源。它们在教学大纲里是作为题型呈现的，不是说数学的应用就是这些方面，而且，对应用题类型的划分也不全面。但有一点是肯定的，这些应用题都是学完以后再应用的，比如先讲什么是路程问题，路程问题怎么解答，然后再去应用。解决问题和传统的应用题不是一回事。解决问题是从学习开始，为了解决问题而学，在学习的过程中发现一个模型，然后用这个模型去解决问题。也就是说，应用从学习的源头就开始了。应用题是告诉学生一个结果，然后去应用，解决问题是要求学生在教师的引导下自己发现这个结果，然后再去应用。现在小学数学里的知识往往都是从应用开始教学的，让学生在解决问题的过程中获得数学概念或方法，然后应用这一概念或方法解决新的问题。这也是新课程加强数学应用的具体体现。

    第三，化归与变式不是一切。有一种想法认为，小学数学中的应用不是化归就是变  式。因为没有应用题的题型了，所以总要有化归或变式。这里“变式”的意思是量之间在运算上的相互依存关系，重点在关系。如路程、速度和时间这三个量，知道其中两个就能算出另外一个，把这叫做变式。这种分析有教育价值，但实际上不能把数学问题看得这么窄。

第四，开放、情景、应用并重是一个努力方向。同一个问题，同一个情景，能提出截然不同的数学问题，得出截然不同的结论。这样的问题就是开放、情景、应用并重的问题，我们需要研究在教材、练习和教学中怎么增加这样的内容，需要主动去发现，去研究。

四是重树基于“全面知识”的数学观和教学观。

    传统的数学教学十分重视数学的基础知识与基本技能，但实际上我们并不是从知识

和技能出发的，衡量“双基”的标准还是对快、准，这是不争的事实。课程标准实验修订稿在传统基础知识、基本技能的基础上，提出了基本思想和基本活动经验。这将开启一个关于作为教育内容的数学新时代，这就是重新树立基于“全面知识”的数学观和教学观的基点。我们需要理解并实践：数学既是学生成长的需要又是学生成长的载体；数学既有作为科学的数学又有作为教育的数学的两重性；作为课程内容的数学，更关注作为学生“成长载体”的教育价值；要努力摆脱“只听不想、只学不问、只知不识”的教学状态；注意科学素养、理性思维、洞察力、评价能力、批评精神、敬业精神、合作精神、严谨求实、创新精神的养成。

    为什么要提出“四基”?现在的数学教学已经基本确立了三维教学目标：知识与技能、过程与方法、情感与态度。在课程标准实验稿中关于“双基”的提法已经改变了，已经把提出问题、发现问题写到“双基”中了。但标准的这一处理并没有受到足够的重视，人们头脑中对“双基”的认识仍然在固守传统。因此，课程标准实验修订稿将基本思想、基本活动经验单列出来。只有这样，才能真正落实创新精神、实践能力的培养，真正落实培养终身学习的愿望和能力。

    数学知识是一个整体。作为课程内容的数学包括隐性知识和显性知识。我们以往关  注显性知识的“双基”，而不太关注隐性知识的“双基”，即基本思想和基本活动经验。不妨以“冰山”为例解释隐性知识和显性知识的  关系：在海面看到冰山露出来的部分就是显性知识，而海面以下看不到的部分就是隐性知识，两者之间大约是10％和90％的比例关系；如果没有比看到的冰LU大得多的冰坨的支撑，露出海面的冰山也就不复存在了。为什么学生学了很多东西，却都忘了呢?实际就是只关注显性知识的结果。如果不关注隐性知识，只关注显性知识，那么显性知识只能是过眼云烟，考完就忘。

隐性知识的特征表现在形式多样：诀窍，技巧，直觉，思维，意识，约定俗成的默契，信念，价值取向等；载体的非技术性：学生头脑，教学氛围等；内容的不确定性：没有形成完整体系，不能精确阐述；流通困难：无法灌输，只能靠体验、领悟、传递、转化等。能力是隐性知识的外显，素质是隐性知识的内化与升华。只有显性知识的人可能会成书呆子，只注重显性知识的培养是产生“高分低能”的重要原因。因此，需要重新审视教什么，怎么教，教得怎么样；学什么，怎么学，学得怎么样。树立基于“全面知识”的教学观，把隐性知识纳入教学范畴。知道隐性知识的存在，把握隐性知识的要点，注重显性知识与隐性知识的结合，是当前转变教学模式、教学观念、教学行为的基本点。

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转变决定数学课程的走向

当前，数学课程要努力实现“从神圣到神奇”“从物化到人化”“从教本到学本”“从灌输到启发”“从结果到过程”的转变。这些方面的转变能否取得突破，对我们提出了新的挑战。

实现“从神圣到神奇”的转变，要求教学重视质疑、反思、探索、过程和活动；实现“从物化到人化”的转变，要求教学重视学生的感情、激情、好奇、兴趣和主观能动性，演绎活的、有生命的知识；实现“从教本到学本”的转变，要求教学重视“教学生学”，培养学生的自学能力；实现“从灌输到启发”的转变，贵在教师引路，妙在学生“开窍”；实现“从结果到过程”的转变，要努力探索“学会——会学——会用——会发展”的教学新路径。

思考决定数学课程的走向

    课程改革需要教师将课程标准的教育理念和要求转化成自己的教学行为。而行为的

背后是思想。因此，数学课程离不开每一位教师的思考，思考决定数学课程的走向。我

们的思考可以从以下几个方面切入：

如何将数学知识的学术形态转换为教育形态?作为科学的数学是有体系的，作为教育内容的数学太强调体系不行。

如何设计教学的平台，是否要一味追求知识点、知识体系与严密性?

    如何淡化形式、注重实质，不使学生淹没在题型、题海里?小学数学里有很多形式不是数学，比如，小数的性质是说小数末尾的。可以省略，但生活中的15元一般要写成“15.00元”，所以这只是一种形式。小数点末尾的0省略不省略并不取决于是否有这个“性质”，而是取决于需要，这才是数学的实质。

    如何关注数学的发展趋势，如何使数学学习成为“发现”的源头?在我们的教学活动中怎么体现?

    如何使教学中的数学呈现“有情”、有用的形象，成为学习者主动学习的动力?

    如何使数学教学助人崇尚科学，求实自信，条理清楚，直面现实?

    如何使数学与学生的健康成长联系在一起?

    归根结底，创新精神、实践能力将决定数学课程的走向!每一位教师的共同努力将决定数学课程的走向!