信息技术下初中数学几何能力的培养探究

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信息技术下初中数学几何能力的培养探究
内容摘要：数学是以数量关系与空间形式为主要研究对象的科学。是一门有很多概念、定义、定理、公理公式、法则的学科。而几何学是其中研究“形”的分支，历来被许多学生认为是一门较难的学科，不听说有这样一句话吗：“几何学、叉叉角角，老师难教、学生难学”，这是学生害怕几何的真实写照。初中学生初学几何，容易对概念产生片面理解，以偏概全；作图时不能正确表示图形，不会作图；几何证明缺乏空间想象和逻辑思维能力，不会证明，或者主观证明，导致种种错误出现，如不能及时解决，往往造成学生对几何学习的畏难情绪，甚至弃学。
关键词：几何教学；感性认识；主观；逻辑思维
初中学生初学几何，困难较多，往往由于老师未能及时帮助学生克服困难，致使学生的学习兴趣降低，学习信心不强，成绩不好，初中学生学习几何到底有什么困难？它的原因是什么？根据几何作业的特点和学生作业错误的性质，从掌握概念、作图和证题这三个方面，分别加以研究。
一、掌握概念
学生在掌握概念方面的主要问题有：
（1）对概念片面的理解；
（2）与类似的概念相混淆；
（3）以日常生活的概念代替科学的概念。
初学几何的学生，对概念理解不透，往往表现在把概念中个别的本质特性当作全部的本质特性，出现以片面代替全面的错误。
例如：我在讲解平行四边形定义时，定义规定：“有两组对边分别平行的四边形称为平行四边形”。讲完定义我设计了两道判断题：“（1）有两组边平行的四边形是平行四边形（2）对边平形的四边形是平行四边形”，要求学生回答时，还有学生说正确，这都说明学生出现以片面代替全面的错误。
应该怎样防止学生对概念的片面理解，使学生全面掌握概念呢？从教育心理学来看，“教学过程应该首先引起学生的丰富感知，结合实际多方面举出同一种类的不同方位的图形或事例，引起学生在头脑中产生丰富的感知和表象”[1]；如:在讲平行四边形时,在多媒体环境下用幻灯片展示生活中的各种平行四边形.(如幼儿园里的滑梯,课本的封面).进一步引导学生分析所举的各个图形、事例的特性及它们之间的共同性，使学生进行思维，深入分析比较，找出事物的各种本质特性；然后再引导学生把各种本质特性综合起来，概括成为定义或定理，最后使学生运用概念进行练习，以加深对概念的理解。
学生对概念理解不透，还表现在与类似的概念混淆不清。例如：中线与中位线的区别，中线是指顶点与对边中点的连线，而中位线是指两边中点的连线，还有直线与射线、线段的区别等等。怎样才能防止与类似概念混淆，及早明确分辨呢？这就是怎样使条件剌激物特殊化或分化的问题，巴甫洛夫对这个问题提出一个实际可行的办法，那就是“对某一定的条件剌激物，不断地用无条件反射加以强化，同时对于与这个条件剌激物最靠近的另一个动因却不应用无条件剌激物的强化”[2]。根据这种精神，就要用对比分析的方法，找出两种类似事物的异同，分清概念。

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学生对概念理解不透，又往往表现在以日常概念代替科学概念。例如把生活中常用的“线”的概念代替几何学中“直线”的概念，把常人所理解的以地平线为标准的“垂直”概念代替几何学中的“互相垂直”概念。
把日常概念代替科学概念，在学习几何过程中是一个很大的障碍，它使得学生在认识图形和作图时，都发生困难，不容易接受科学的概念。
怎样教学才能消除和防止日常概念的影响呢？我认为老师必须预见到学生可能会用哪些日常的观念或概念来理解几何的概念，在讲课时有目的地多方举出与日常观念相同的与不相同的各种方位的图形或例子，引起学生在头脑中发生新旧映象的矛盾，然后把例子进行分析比较，指出日常概念的局限性与科学概念的全面性。这样，既利用日常概念的正确一面，积极帮助对几何概念的理解，同时又消除其局限性的消极作用，避免对科学概念发生不正确的理解。
二、作图
几何学开头的几个练习，要求学生学会作线段的加减、角的加减、弧的加减和圆等简单图形，并且要求会用大小写字母及式子把所作的图形表示出来。学生初学作图时发生不少困难，产生不少错误，问题集中表现在两个方面：（1）不会表示图形，或不能正确表示图形；（2）不会作图。
学生初学几何作图，往往不会运用大小字母来表示图形，或错误地乱用字母表示图形，例如作线段加减或弧的加减时，常常不写分点上的字母；在同一题中又常常重用同一个字母，有时只画图形，不用式子表示，或写错表示式。
产生这种错误的主要原因，从教学方面看，是由于教师在讲解图形及表示方法时，只从正面讲解应该怎样表示图形，没有同时从反面分析，指出不按照这样方式表示时会发生怎样严重的后果，以防止学生容易发生的错误。另一个原因是由于教师教课的方法是多讲少练，深恐学生不明，反复讲解，思想上不重视课堂练习，因此，学生没有及时通过练习加深理解教师所讲的内容，把知识巩固下来。
不会作图，也是初学几何的学生中最常见的问题。成绩在中等以下的学生，往往感到作图的困难，尤其是作比较复杂的图形，更不知从何入手。
几何作图，是几何知识与作图技能的综合运用。学生不会运用几何知识进行作图的根本原因，是由于对于作图时所应用的几何概念不理解。不会运用几何知识进行作图的另一个根本原因，是对于所作图形的本质特性不理解、不明确，因此，在已有的几何知识、概念与所作图形之间，找不到二者的内在联系。同时，教师在教给学生作图时，自己讲得多，给学生堂上练习的机会少，尤其是缺乏个别指导和帮助，没有培养学生作图技能，这也是学生不会作图的原因之一。

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针对这些问题，教师在教作图时，应该先复习有关的概念，使学生明确概念包括的本质特性及其相互间的内在联系，再进一步讲清作图的方法与步骤。在讲作图的方法、步骤时，应该运用边讲解、边示范、边带动的教学方法，使初学作图的学生跟着老师一步一步做，这就是带小孩子走路的方法。例如：在讲“二次函数图象”时，可以先复习函数作图的步骤，列表、描点、连线，让学生尝试着原来一次函数图象的画法，自己画一个二次函数图象。教师巡视，然后从中挑出学生的错误图形，用投影展示给学生看，让学生自己发现错误，接着教师再讲解如何正确作图，作图时可以充分利用几何画板,画出一系列二次函数图象,让学生从图形中发现二次函数的性质.让学生印象深刻。
三、证题
在初学几何的学生中，常常碰到不会证题和主观证题的现象。学生不会证题的原因究竟是什么？经过分析学生的证题作业、下班辅导、谈话、观察、逐步发现：学生在证题时不会运用定义、定理，不理解定义、定理中各本质特性间的相互联系；对几何图形的性质不会分析；没有掌握证题过程中思考问题的方法和步骤。这都是学生不会证题的重要原因。从心理学看来，主要是缺乏分析、综合、判断、推理的能力。
要学会证题的第一个关键，就是要深入理解定理中的条件与结论的内在关系，并能互相推导。学生不会证题，主要问题就在于不理解定理中条件与结论的内在联系，不会从条件推出结论，从结论推出条件，而是机械地背诵定理的文字。因此，要想教会学生证题，在讲解定理时就要使学生理解定理中条件与结论的关系，使学生会从条件推出结论，从结论推出条件，通过这样的教学来培养学生的分析、综合、判断、推理能力。当然，在我们强调掌握定理的时候，并不意味着不必去掌握定义、公理及其他几何知识，相反地，同时也要掌握其他的几何知识。
学会证题的第二个关键，是要掌握证题过程中分析问题的方法与步骤。通常几何证题是用顺证法和逆推分析法。如果问题比较困难，最好先用逆推分析法进行思考，把证题过程的线索想通后，再用顺证法证明。从心理学看来，逆推分析法是一连串分析、综合、判断、推理的思维过程，它的基本步骤可分为两步，以需要应用三角形全等关系来证明的问题为例，第一步是决定求证部分是属于对图形。这步功夫要从求证入手去分析图形，看出求证部分可能属于哪几对三角形，找出证明有哪几种可能的线索。然后进一步研究已知条件和图形，分析在这几种可能的线索中哪一个具有最多的已知条件，据此假定求证部分是属于哪一对图形。第二步是证明假设的那对三角形全等。首先分析这对三角形所具备的已知条件符合三角形全等判定定理中的哪一条。如果完全符合某条定理，就可证明所假定的那对三角形全等，从而证明了求证部分。如果已知条件不足，可以看这些条件最接近哪条判定定理，研究它还缺少哪些条件，然后把缺少的条件当作新的求证部分，再用逆推分析的方法去研究。如果假定的第一对三角形无法证明全等，则判断第一假定不成立，然后回头作第二种假定，同样用两个步骤进行分析。这样逐一检查每种假定的可能性，直到问题能够得到证明为止。运用这种逆推分析的方法，有条不紊的进行思考，能够找出证题的方法。当然，如果从已知条件进行分析，很容易证明求证部分，这样的题目，就可以直接用顺证法了。

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主观证题，也是初学几何的学生常易发生的错误，为了纠正主观证题的错误，首先应该使学生深刻认识到凭主观直觉进行证题是十分错误的，不科学的。同时，还要教导学生经常注意题目所给的已知条件，根据已知条件进行推理，使学生在练习过程中受到严格的训练，培养科学的态度和严密的逻辑思维习惯。
四.辅助线
辅助线是解几何题的重要工具，也是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁。以平行四边形为例与平行四边形有关的辅助线有哪些呢？下面结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形 中，点 在对角线 上，且 ,请你以 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结                      ⑵
⑶证明：连结 ,设 交于点O
∵四边形 为平行四边形              
∴
∵         ∴  即
∴四边形 为平行四边形        ∴

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形 中，对角线 和 相交于点O，如果 ， ， ，那么 的取值范围是（   ）
A      B     C        D
解：将线段 沿 方向平移，使得 , ,则有四边形 为平行四边形,∵在 中,  , ,
∴ ，即   解得      
故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：如左下图3，四边形 为平行四边形
    求证：
证明：过 分别作 于点 ， 的延长线于点F
∴
   
则
∵四边形 为平行四边形       ∴ ∥ 且 ,
∴               ∵   
∴               ∴
∴

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第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4：已知：如右上图4，在正方形 中， 分别是 、 的中点， 与 交于 点，求证：
证明：延长 交 的延长线于点
∵四边形 为正方形      
∴ ∥ 且 , ,
∴       又∵ ,      
∴ ≌       ∴      
∵       ∴
∵        ∴ ≌         
  ∴
∵      ∴      
∴ ,则
∴
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5，在平行四边形 中，点 为边 上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解：延长 与 的延长线相交于 ，则有
∽ , ∽ , ∽

第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
例6已知：如右上图6，在平行四边形 中， , ,
交 于 ，求
解：连结 交 于点 ,连结
∵四边形 为平行四边形      
∴
∵       ∴ ∥ 且       ∴
∵         ∴          ∴
∴            ∴
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
总之,几何的学习从概念、作图、证题、辅助线归纳方面突破，一定会有较大进步。