八年级下册数学《正方形》教学设计

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八年级下册数学《正方形》教学设计
湖北省来凤县翔凤镇接龙中学  胡永安
一、教学目的
1、掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．  
二、教学重难点
    1、教学重点：正方形的定义和性质．  
2、教学难点：怎样判定一个四边形是正方形．
3、教学关键：正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系
三、学生分析
学生在小学学过正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的面积等于它的边长的平方。现在的教学是加深学生的理论知识，拓宽他们的知识面。本节课虽然是学习正方形的性质和判定，实际上应起到对平行四边形、菱形、矩形性质的复习、归纳和总结的作用。因为没有具体的判定定理，学生不知道人哪里着手来判定一个四边形是正方形，具体证明时，常出现步骤混乱，或多用或少条件的现象，解决这个难点的关键是加强正方形概念的教学，讲清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
四、教学内容分析
本节课安排了三个例题，例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：
① 对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
② 对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
③ 对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？
④ 能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
⑤ 说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
五、教学媒体
    长方形纸片、多媒体课件
教学过程
一、新课引入
1、做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？

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正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
① 有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
② 有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
2、问题：正方形有什么性质？有什么判定方法？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
    所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
师生共同归纳出正方形的性质：
① 两组对边分别平行；
    ② 两组对边分别相等；
    ③ 四条边都相等，四个角也分别相等；
    ④ 对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角。
    ⑤ 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形。
师生共同归纳出正方形的判定方法：
① 直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，如果这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个四边形是正方形。
② 可以判定一个四边形是矩形同时又是菱形，或判定一个四边形是菱形同时又是矩形，这时就可判定这个四边形是正方形。
二、例习题分析
例1  求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵　 四边形ABCD是正方形，
∴　 AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴　△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
例2  已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
    证明：∵  四边形ABCD是正方形，
∴   ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又   DG⊥AE，
∴  ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴   ∠EAO=∠FDO．
∴   △AEO ≌△DFO．
∴   OE=OF．
例3 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．

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分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵　 PN⊥l1，QM⊥l1，
∴   PN∥QM，∠PNM=90°．
∵　 PQ∥NM，
∴　 四边形PQMN是矩形．
∵   四边形ABCD是正方形
∴　 ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴　 ∠1+∠2=90°．
又　 ∠3+∠2=90°，  ∴　 ∠1=∠3．
∴   △ABM≌△DAN．
∴   AM=DN．  同理  AN=DP．
∴   AM+AN=DN+DP
即   MN=PN．
∴　 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

三、随堂练习
1、正方形的四条边____  __，四个角___  ____，两条对角线____   ____．
2、下列说法是否正确，并说明理由：
① 对角线相等的菱形是正方形；（   ）
② 对角线互相垂直的矩形是正方形；（   ）
③ 对角线垂直且相等的四边形是正方形；（   ）
④ 四条边都相等的四边形是正方形；（   ）
⑤ 四个角相等的四边形是正方形．（   ）

3、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
求证：∠AFE＝∠AEF．

四、课后练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．

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2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

教学反思
1、在探索正方形判定方法的过程中，充分发挥了学生主体性，让学生经历自主“做数学”的过程——动手折纸、演示自制教具，并播放矩形、菱形、平行四边形的一个角、一组邻边的变化得到正方形课件，成功的达到了学生对正方形直观认识，进而探索出正方形的判定方法。
2、通过一道论证题的研讨，鼓励学生大胆尝试，同时鼓励其他同学进行互帮互助，交流自己解决问题的过程及成功的体验，给学生留下了充分的空间，不断激发学生的探索精神，培养了学生的动手操作、合作交流和逻辑推理能力，提高学生分析和解决问题的能力，使学生有成功体验。
3、本节课设计的以问题为主线，培养学生有条理思考问题的习惯和归纳概括能力，并重视培养学生语言描述，然后进行引导交流形成规范语言。小结设置为学生谈自己的感受，培养学生语言表达能力、归纳知识的能力，以及欣赏数学的能力。