运用信息技术开展高中数学实验教学探究

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运用信息技术开展高中数学实验教学探究
【摘要】计算机多媒体的介入，使得数学实验有了质的飞跃．很多的数学实验都可以利用计算机作为工具．数学与信息技术的相互促进与紧密结合，不仅形成了作为高新技术的核心成分和工具库的数学技术，也深刻地改变了数学的教和学的方式.数学实验给学生提供一个亲身研究数学的机会，有利于激发学生学习数学的兴趣，将被动学习方式变为主动学习方式．以数学实验为探究手段的命题新视角已逐步形成，一方面填补了中学数学对学生动手操作考查的空白，另一方面也促进了中学数学实验的教学．培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力．
【关键词】计算机多媒体；数学实验；数学实验教学；动手操作

一、问题的提出
数学实验，指的是引导学生通过操作、实践、试验来进行探索学习的数学教学形式．
著名数学家和数学教育家G．波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面．一方面它是欧几里得式的严谨科学．从这个方面看。数学像是一门系统的演绎科学．但另一方面．创造过程中的数学．看起来却像一门试验性的归纳科学．”要全面提高学生的数学素质．就要在数学教学中充分体现它的两个侧面．既重视数学内容的形式化、抽象化的一面，又重视数学发现、数学创造过程中具体化、经验化的一面，而后者对于数学基础教育显得更为重要．在中学数学教学中恰当地引人数学实验是引导学生发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性地解决问题的有效途径，也是完善学生认知结构，提高学生数学素养，并使其全面认识数学两个侧面的重要途径．
然而在目前形势下．数学教学往往过分强调形式化的逻辑推导和形式化的结果．而对数学发现过程的展示和数学直观性的背景关注较少，大量的时间花在讲题与练题上．于是在学生眼里，数学成了枯燥无味的公式、结论和习题的堆积，充满美感和生机勃勃的数学学科丧失了它的本来面目．从而给学生数学学习带来了困难，难怪学生常常感叹：“数学越学越难．”学生在数学学习这一认知过程中是按照从具体到抽象、从感性到理性的认识规律来认知数学的．而数学实验是沟通具体到抽象、感性到理性的一座桥梁．
计算机多媒体的介入，使得数学实验有了质的飞跃．很多的数学实验都可以利用计算机作为工具．借助它强大的计算和图象处理能力，为抽象思维提供直观模型，无论是作图。还是计算，计算机都可以迅速完成．
当前，现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响．数学与信息技术的相互促进与紧密结合，不仅形成了作为高新技术的核心成分和工具库的数学技术，也深刻地改变了数学的教和学的方式.在利用信息技术创设的数学学习环境中，操作、观察、试验、猜想、发现等过程变得具体而清晰，数学思维的目的性增强，数学推理的逻辑基础更加稳固，数学思考更具有程序性，这就极大地增加了学生通过自主的、积极的数学思维而成功建构数学概念、解决数学问题的可能性，并使以学生发展为本的教育理念得以实现.高中数学课程提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，而整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质．利用信息技术使以往教学中难以呈现的课程内容，得以方便的呈现．使得数学思想容易表达了，数学方法容易实现了，数学与现实的联系更加紧密了. “数学实验” 即在电脑平台上构建一个问题情境，由教师或学生对各元素进行有序的控制操作，变换各种情境，并通过学生小组的协作学习，去观察问题、验证结论、体验本质、归纳和发现新结论．这是一种教学上的数学实验．教师精心挖掘教学内容中的实验因子、实验课题，编制课件等，并采用典型课例带动的策略，构建了问题→实验→观察→猜想→分析→验证→举例的“数学实验”教学模式，并对操作要点、程序、实施策略、评价指标和方法手段等评价体系作了研究和实践，由此形成了“数学实验”教学课题．

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利用这些工具．有些教学内容可以在教师的指导下让学生独立或者分组进行观察和分析，不必用“教师讲、学生听”的传统教学方式进行．达到了既充分发挥教师的主导作用，又使学生成为学习的主体的效果．是一个让学生自主进行探索性学习的直观环境．能创造出一种数学实验教学的新型课堂教学模式．
计算机辅助教学与数学实验相结合进行数学教育的思想：从若干实例出发(包括学生自己设计的例子)→在计算机上做大量的实验→发现其中的规律→提出猜想→进行证明．
二、案例剖析
案例1：求方程解的个数
例如，求方程 = 根的个数．通过实验来发现方程 = 根的个数，从而理解方程与函数图像的关系．
实验平台：Math CAD．
实验过程：
①作 的图像．
②作 的图像．
③在同一直角坐标系中，作 和 的图像．
实验任务：如图，
①观察 与 图像的交点个数．
②分析数量关系．
③理解函数图像对解方程的作用．
实验结果： = 的根的个数是    ．
该问题如果传统地应用“数形结合”去作函数 与 图像，从图像中学生很容易得出只有一个解的答案，这恰恰是数形结合的一个弊端所在，也是合情推理的不严谨性的体现．借用计算机和数学软件来验证，不难发现该题答案该是三个．这个问题如由教师讲解则显得苍白无力，而这些数学工具很好地扮演了检验者的角色．
案例2：判定命题的真假
例如：用计算器验算函数 ( )的若干个值，猜想下列命题中真命题只能是(  )
A． 在(1，+∞)上是单调减函数；
B． , ∈(1，+∞)有最小值；
C． , ∈(1，+∞)的值域为(0， ]；
D． ， ∈ ．
为了达到批量给出数据、直观比较数据之间的联系的目的，建议采用计算器[MODE]中的TABLE模式，在“ =”后输入“ ”，根据题目中提供的信息，第一次实验：“Start?"输入O，“End?"输入20，“Step?"输入1，观察数据发现，函数值先增后减，在 =3处较大，故A错误；然后“Start?"输入2，“End?"输入4，“Step?"输入0.1，观察数据发现， =2.7时函数值较大，故B错误．通过对研究区域[1，20]、[10，100]、[100，1000]进行列表观察，可以猜测随着 的增大 的值无限趋近于0，故D正确．
本题充分体现了计算器验证作为数学实验探究的一种手段，通过对于一定量的特殊值的研究，来总结和归纳特征，并在归纳的基础上进行合情推理和猜测，为学生提供了研究和探索数学问题的新方法和新途径，提高学生学习数学兴趣的同时，也提高解决数学问题的效率．
案例3：探究函数 的图象和性质
实验背景：高中实验教科书在三个地方提到关于函数“ ”的数学实验，即（函数的图像表示法），（数学实验）和（函数的单调性和奇偶性）函数f（x）蕴涵着极大的教学价值：（1）它是一个正比例函数与一个反比例函数之和通过变量替换而得到的函数；（2）它是一个奇函数；（3）用其在（0，+∞）上的单调性可解决函数的一类最值问题，特别是“均值不等式”中等号不能取得时的最值问题；（4）当k≠0时其图像为双曲线．
实验工具：TI-92PLUS图形计算器、几何画板GPS（4.01）.
实验目的：探究函数 的图象和性质(单调性和奇偶性）

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实验要求：①把学生分成若干组，每组4人；②各组写出实验目的、实验方法和实验步骤；③各组按计划开展实验；④全班交流实验结果；⑤撰写实验报告．
实验步骤：
①打开图形计算器，进入函数编辑功能；
②输入函数y= ；（k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4等）；
③不断改变k的值，观察函数图象的变化规律，并记录下观察到的现象；并填写表1．
④根据观察到的现象猜想函数 的性质；(奇偶性、单调性)；
⑤检验猜想的正确性，并严格的数学证明
k          (x>0)的图象
现象
k<0         
⒈当x∈（-∞，0）y随x增大而增大．
⒉图象为双曲线．
⒊图象关于原点对称．
⒋x随k减小而远离原点．         
⒈图象为双曲线．
⒉第一象限先减后增，第三象限先增后减．
⒊关于原点对称．
⒋k值变大，函数的最值也发生改变．
k=0         
⒈y随x增大而增大．
⒉图象过原点．
⒊图象关于原点对称
实验报告
（1）实验现象记录
不断改变k值时，观察到的现象是：随着k值的不断减小，分布在1、3象限的两条曲线逐渐靠近，当k值为正数时，图象在第一象限内“先减后增”，在第三象限内“先增后减”；当k为0时，两条曲线变为一条直线y=x,当k值为负值时，若x＞0，函数为增函数，x＜0也是增函数；在整个变化过程中，函数图象都关于原点对称．（教师用几何画板演示）
（2）猜想
猜想1：函数 为奇函数；

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猜想2：当k＜0时,函数 在x＞0时单调递增,在x＜0时，也单调递增；
猜想3：当k＞0时,函数 在第一象限“先减后增”,在第三象限“先增后减”；
（3）证明
猜想1、猜想2，请同学证明；(略)但猜想3中的增与减的分界点难以确定．
（4）寻找函数 （k＞0）的单调区间
①打开图形计算器；
②k取不同的值，作出函数 （x＞0）的图象，并求出函数取得最小值时的x的值，填写表2；
③由表2猜想函数 （x＞0）取得最小值时x的值中所蕴涵的规律；
表 2
k         （x＞0）
取得最小值时x的值
1        1.008
2        1.344
3        1.680
4        2.016
9        3.025
16        4.033
④对猜想进行验证；
⑤证明猜想的正确性.
（5）讨论：函数 的性质
①函数 是奇函数，图象关于原点对称；
②当k<0时，x在(-∞,0)上函数为增函数,x在(0,+∞)上函数也是增函数；
③当k>0时,x在(-∞,- ),( ,+∞)上函数是增函数；x在(- ,0),(0, )上函数是减函数.若x>0,当x= 时, =2 ；x<0,当x=- 时, =-2 .
④当k=0时,函数为y=x是一次函数(性质略)；
本节课是一节探究性的实验课，其设计宗旨是想通过学生利用信息技术的实验，从原始的实验数据归纳整理，观察实验现象，从中猜想出函数的性质，在检验其是否正确，并通过严格的证明其猜想的正确性．在利用性质来解决一些实际问题和数学问题．通过实验来培养学生科学的实验方法，学会撰写数学实验报告，从而促进学生学习方式的转变．
在上述例子中，学生参与实验的过程实际上是在观察实验模拟过程中思考．当然在问题讨论环节中，部分学生仍可发挥创造性，提出自己新的“实验”设想，并上讲台进行实验操作演示或由教师择优实验．
信息技术对教学方式的转变，函数是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用；函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切；函数是进一步学习数学的重要基础知识；函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域．今天我们对指数函数的图形变化及其性质和有关运用作一个探究，从中更清晰地认识这一类型的函数的特点和性质，及研究函数的一般方法．课题组田文灿老师在教学中深有体会．
案例4：研究指数函数y = ax　(a＞0，且a≠1)的图象和性质
1．情境创设――――引入
教师用信息技术演示细胞分裂情况：
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，………，
师问：1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
生答：y = 2x （引导学生回答）

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师：在这个函数里，自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量，像这样的函数，我们把它叫做指数函数．
2．探究与发现
现在我们来进一步研究指数函数y = ax　(a＞0，且a≠1)的图象和性质：

（1）先来研究当底数0＜ a ＜1时的情况：
利用图形计算器画出下列函数的图象：
f (x) = 0.2x ；g (x) = 0.3x ；h (x) = 0.5x
学生很快就完成上列函数的输入，并画出了各个函数的图象（图1）
         
图1                                    图2
（2）现在研究当底数a＞1时的情况：
利用图形计算器画出下列函数的图象
q(x)=1.5x    r(x)=2x     s(x)=3x    t(x)=4x

图3
3．拓展探究：引入参数验证
师：现在引入参变数a，大家一起来探究指数函数y = ax　的图象和性质 ．
生：动手　………
师：教师巡视，发现部分学生不会建立参变数，不能画出相应的函数图象．教师及时给予启发和指导，最终同学们都画出了如下的函数图象（图4）．

图4
师：大家拖动a点改变a的取值，观察指数函数y = ax图象变化情况．并请你归纳总结所发现的函数图象性质．
生：……,不断改变着a的取值，相互交流着，饶有兴趣地，表露出一种兴奋的神情…
师生一起得出以下归纳总结：
一般地，指数函数y=ax图象分为两种类型：在底数a＞1 及 0＜ a ＜1 这两种情况下的图象和性质如下表所示：

点评与反思：由特殊到一般，探索发现其中的数学规律和性质，这是数学教学中一种常用的数学思想方法．学生在归纳总结指数函数的性质时，要注意提示和引导：观察分析图形──数形结合──注重“共同性”──找出“共同点”．并注意学生观察能力和语言表达能力的训练和培养．学生在归纳总结指数函数的性质时，不少学生归纳为“a＞1时是增函数，a＜1时是减函数”，出现了漏洞，应及时加以探讨，让学生自己找出漏洞所在，最后得出严格的说法．加强数学语言表达的严密性．
三、信息技术下高中数学实验教学促进了学生学习方式的转变
面对新课程，新的教学理念，教师和学生的角色都在发生着转变，不断尝试和探索新的教学方法，创新教育教学模式，是教师面临的巨大挑战．
信息技术在教学中的应用，使教学过程发生了转变──由讲解说明的进程转变为通过情景创设、问题探究、协商学习、意义建构等以学生为主体的过程．教师的角色发生了转变──由以教师为中心的讲解者转变为学生学习的指导者和活动的组织者．学生的地位发生了转变──从被动接受的地位转变为主动参与、发现、探究和知识建构的主体地位．学生的学习过程、学习方式也发生了很大转变──转变为学习方式的自主性、学习过程的交互性．信息技术在教学中的应用，一定程度上改变了传统的单调的教学方法和枯燥的教学内容，变静为动，变抽象为具体，“活化”了教学内容，使课堂教学过程更加清晰，易于突破难点、突出重点，有助于观察和理解，更好地传达教学意图．让学生学得更为轻松，并在较短的时间内完成了从观察、思考、认识、理解到实际应用的过程．提高了教学质量和教学效率．

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通过数学实验教学实例，构建数学实验教学模式．论述学生参与数学实验是探究性学习的有效途径；运用现代教育技术给学生提供了更广阔探究空间；相互交流和自主学习促进了学生学习方式的转变．
数学中的数学实验，小巧灵活，容易操作，方便快捷，学生乐学．教学实践证明，数学实验能够激发学生的学习兴趣和好奇心，培养学生的求知欲望，改变学生的数学观和数学学习方式，调动学生学习的积极性和主动性，提高学生数学思维能力；同时又能使数学课堂教学丰富多彩，生动活泼．总之，数学实验是数学教学落实素质教育的有效途径．我们要认真构建数学实验平台，拓宽数学实验空间，把数学实验引入教师的教与学生的学习中，让数学实验成为一种数学教学习惯．