中学数学优秀教学设计例谈在直角坐标系中求图形的面积

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中学数学优秀教学设计例谈在直角坐标系中求图形的面积
甘肃省定西市岷县第四中学        包苏钰
【内容摘要】图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标。我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积和一些不规则图形面积的问题，解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧，能直接运用公式求的可直接运用公式求出面积。对于求不规则图形的面积，通常可采用“割补法”来解答。
关键词：平面直角坐标系、图形、面积
图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标。我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积和一些不规则图形面积的问题，解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。现对这类题目的解法举例说明如下：
一、运用“直接法”求面积
这种方法可运用于在求三角形及其一些规则图形，当图形有一边在坐标轴上或有一边与坐标轴平行时可以利用相应的面积公式求得它们的面积。
（一）、至少有一边在坐标轴上
例1  如图1，平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为(2,0),（0,0）,（0,3），是求出三角形AOB的面积。

图1
分析：由三角形特征可以看出，△AOB的两边OA和OB分别在坐标系x轴和y轴上，且有OA⊥OB，即△AOB为直角三角形。由图可知OA=2，OB=3.可直接根据三角形的面积公式进行求解。
解：由题意可知，△AOB为直角三角形，
OA=2-0=2，OB=3-0=3.
所以 .
例2　如图2，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？
                    
                        图2
分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解。

解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，
（二）、有一边与坐标轴平行
例3  如图3所示，三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，-2），B（4，-2），C（3，2）.求三角形ABC的面积.
分析：观察图形，在坐标系中读取三角形ABC的一边的长度，和该边上的高的长度.因为AB∥x轴，所以AB可以作为三角形的底边，点C到AB的距离可以作为三角形的高。

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            图3
解：因为AB=4-0=4，AB边上的高为h=2-（-2）=4，所以三角形ABC的面积是： AB•h= ×4×4=8.
评注：当两点在平行于x轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值。
二、运用“割补法”求面积
（一）、运用“分割法”求面积
该方法可运用于求一些不规则图形的面积，将一个不规则图形分割成几个规则图形和的形式，分别求出几个规则图形面积，再把他们各自面积加起来的和就是该图形的面积。
例4   如图4，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为（2,4），（5,2），AO上有一整点C的坐标为（1,2），求三角形AOB的面积。

图4
分析：该题中点B坐标为（5,2），点C坐标为(1,2)，所以 B，C在平行x轴的直线上，且线段BC=5-1=4.连接 BC可把三角形AOB分割成两个底边与想x轴平行的三角形ABC和三角形BOC。它们的面积和即为三角形AOB的面积。
解：连接BC，且BC=4，是三角形ABC，三角形BOC的底。
由图可知点A距离BC的长度为2，即三角形ABC的高是2。点O距离BC的长度为2，即三角形BOC的高是2。
， ，
所以 ， 。
点评：如果三角形的三边中没有任何一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，则应将其进行转化为几个规则图形的面积和或差。
例5  如图5，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-2，2），B（-3，-3），C（3，-3），D（2，1），求四边形ABCD的面积。
  
                                 图5
分析：四边形ABCD不是规则的四边形，要求其面积，可将该四边形的面积转化为两个直角三角形和一个梯形的面积的和来计算。
解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
则四边形ABCD的面积=三角形ABE的面积+梯形AEFD的面积+三角形DFC的面积，
因为三角形ABE的面积为： BE•AE= ×1×5= ，梯形AEFD的面积为： （DF+AE）•EF= ×（4+5）×4=18，三角形DFC的面积为： FC•DF= ×1×4=2，
所以
点评：解决平面直角坐标系中的四边形的面积问题，一般思路是将不规则的图形转化为规则的图形，再利用相关的图形的面积公式求解.

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（二）、运用“补形法”求面积
该方法可运用于求一些不规则图形的面积或者图形通过分割无法求出面积时，将一个不规则图形通过补形，补成为几个可直接求出面积的规则图形，通过几个图形的面积加减得到该图形的面积。
例6  如图 6，A(-3，4)，B（-1,2），O为坐标原点，求 的面积？

                             图6
分析  过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D。根据三角形的面积公式求得 、 、 的值，然后由图形可以求得 。
解  过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D。
    A（-3，4），B（-1，2），
    OC=3，AC=4，OD=1，BD=2，
，
，
，
。
评注：在直角坐标系中求不规则图形的面积思路，可将不规则的图形转化为几个规则的图形的和差，再利用相关的图形的面积公式求解。
总之，在直角坐标系中求三角形等一些多边形的面积，能直接运用公式求的可直接运用公式求出面积，对于求不规则图形的面积，通常可采用“割补法”来解答。