两点之间，线段最短

renjian

北京市东直门中学　杜开龙



    设计思想

（1）国家数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

（2）初一学生从基础知识，基本技能和思维水平以及学习方式等方面有一个逐步适应和提高的过程。因此，在进行教学设计时，必须时时考虑到新初一学生的学习实际，既不能盲目拔高，也不能搞简单化的结论式教学。在新课改的过程中，教学设计应立足于学生实际，从大处着眼，深入挖掘教材内容的素质教育功能。

（3）数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。

（4）本课题通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境──建立模型──解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学──在教室里学习数学──到生活中运用数学” 这样一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心。学生通过本节从具体情境发现并提出数学问题的学习活动，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题。体会在解决问题中与他人合作的重要性。体会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。

renjian

教学任务分析

教 学 目 标	知识与技能	理解“两点之间，线段最短”的结论，并能用这一结论解释一些简单的问题。
	数学思考	经历观察、实验、猜想等数学活动，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
	解决问题	初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能应用所学知识解决问题；学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
	情感态度价值观	能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲；在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；初步认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造。
重点	结论的应用过程和拓展问题的探究过程
难点	拓展问题的探究过程

　　教学流程安排

活动流程图	活动内容和目的
活动1 热身准备  我想试试 活动2 课题引入 1、幻灯片：组图 2、数学活动 活动3 新课教学 解释、应用与交流 问题1、怎样走最近？ 问题2、河道长度 问题3、九曲桥 3、拓广探索与交流——蚂蚁爬行最短问题 活动4 回顾、思考与交流	以这首小诗，激发学生大胆参与课堂探究的勇气。 以实际问题情境引入，激发学生学习兴趣。 在解释、应用与交流中理解数学内容 引导探究继续深入，引发对问题的深层思考，渗透转化思想 学习、反思，提高、升华

　　课前准备

教具	学具	补充材料
课件	正方体模型

　　教学过程设计

问题与情景	师生行为	设计意图
热身准备 我想试试 罗赛蒂 那个说“我想试试”的小孩 他将登上山巅， 那个说“我不成”的小孩， 在山下停步不前。 “我想试试”每天办成很多事， “我不成”就真一事无成。 因此你务必说“我想试试”， 将“我不成”弃于埃尘。 一、课题引入 1、幻灯片：组图 绿地里本没有路，走的人多了… … 你能解释一下原因何在？ 2、数学活动：在纸上任意点两点，用线联接它们，量一下它们的长短，比较一下谁最短？ 得出结论 二、新课教学 1、出课题：两点之间，线段最短	学生朗读——我想试试 教师提出问题 学生独立思考，小组交流后回答 教师布置数学活动 学生分组进行活动，给出探究结论。 教师板书课题	以这首小诗，激发学生大胆参与课堂探究的勇气。 以实际问题情境引入，激发学生学习兴趣，引入本节课题 动手具体做一做，在做中领悟数学
2、解释、应用与交流 问题1、怎样走最近？ 如图1，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？	教师提出问题 学生思考、讨论，发表看法 教师注意对学生几何语言的训练（强调“连接AB”）	在解释、应用与交流中理解数学内容
问题2、河道长度 如图2，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？             图2 问题3、九曲桥 （2）如图3，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理。         图3 你还能举出一些类似的例子吗？ 小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？ 有人过马路到对面的商店去，但没有走人行道，为什么呢？ 其他	学生独立思考、小组讨论、组间交流，发表看法，相互评价	设置三个问题，通过解释、应用与交流活动，强化理解所学新知。 理解的四个层次：1、可以结合自己的体验或用自己的话阐述复杂概念；2、进行联想、比喻及推论；3、在新环境中能解决问题； 4、做出创新。 举例也是考察学生对事物真正理解与否的方式之一。
3、拓广探索与交流 蚂蚁爬行路线最短问题 如图4，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？ 图4 利用手中的正方体具体实验一下，告诉大家你的结论。	学生独立思考，小组实验、探究与交流，组间相互评价 动手实验，自主探究，合作交流。 发表观点，引发思考	引导探究继续深入，引发对问题的深层思考，达到理解的第三层次。力争达到第四层次，学生作出创新。 道理暂时说不出不要紧。关键是在活动中获得的副产品。
三、回顾、思考与交流 设想自己是一名园林设计师或者是一名管理者，在进行公共绿地设计时对情境一的一些思考与探讨能给你一些什么启发。 四、作业 对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？ 请把你对此问题的研究写成数学小作文，注意写出自己的情感体验。	学习思考、组内交流、组间交流	学习、反思，提高、升华

renjian

效果检测 1、通过课堂学习活动的展示与交流，学生对学生进行相互评价 2、在学习活动过程中教师注意及时地鼓励、指导、点评，实施过程评价 3、课后要求学生“蚂蚁爬行最短”问题进行继续研究，并写出数学小作文。 附件──本节课的后续影响的例举 关于最短路径思考 黄博阳 我们已经学过“两点之间，线段最短”这个数学公理了。这看似简单的八个字蕴涵着许多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。 当A、B在同一平面内时，即使是从北京到天津，我们也可以轻松地利用“两点之间，线段最短”得出线段AB是A、B两点间的最短路径（如图1-1）。 图1-1 有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图2-1）： 图2-1 有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近。这道题乍一看似乎无从下手。但经过观察可以发现此题依然可以利用“两点之间，线段最短”来解决问题，具体方法为：做B点与河面的对称点B＇,连接AB＇，可得到马喝水的地方C（如图2-2）。 图2-2 再连接CB得到这道题的解A→C→B。这就是著名的“将军饮马”问题。不信的话你可以在河边任意取一点C＇连接AC＇和C＇B，比较一下就知道了。 明白了刚才的平面问题，接下来看看立体图形问题（如图3-1）。 图3-1 求点A到点C＇的最短路径是那一条。此时已不在同一平面内，不能直接利用公理解决问题。此时，就要利用数学中的转化思想，把立体图形转化成平面图形来研究（如图3-2）。 图3-2 从而得到两条最短路径：A→BC→C＇和A→CD→C＇。同理，还可以得出6条最短路径来(如图3-345)。 图3-3       　　   图3-4   　　    图3-5 分别为：A→BC→C＇、A→CD→C＇、A→DD＇→C＇、A→BB＇→C＇、A→A＇D＇→C＇、A→A＇B＇→C＇。 那长方体的最短路径呢？我们来看一下这题（如图4-1） 图4-1 从A＇到C，不经过A＇B＇C＇D＇和ABCD两面，怎样走最近？我们不如先不考虑第二个条件，从上题可知有六条最短路径，但此题与上题略有不同──长方体各面不相等，因此我们需比较那条路径最短。观察发现这六条路径，两两长度相等，即只比较这三条路径谁更短就可以了（如图4-23）。 图4-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图4-3 解：设长方体长、宽、高分别为x、y、z，依题意，得： ①= ②= ③= ∵ 2xy＞2xz＞2yz ∴ ③＜②＜① 即走第三条路径最短。 得到从A＇到C的路径中从A＇→BB＇→C和A＇→DD＇→C最短，与第二个已知条件无关。 平面是这样，那曲面呢？我们再看一题（如图5-1），从A到B，怎样走最近呢？与前两题相同，把圆柱体展开（如图5-2），此时，只有A点位于与长方形的交界处时，才是最短路径，且只有一条最短路径AB。 　　　　　　　　 图5-1　　　　　　　　　　　　　　 图5-2 从上面几题可以看出立体图形中的最短路径问题，都可先把立题图形转化成平面图形再思考。而且得出正方体有6条最短路径；长方体有2条最短路径；圆柱有1条最短路径。这短短的八个字还真是奥妙无穷啊！ 教师注：初一刚入学不久的学生，能把问题一个问题表述得如此清晰，很是难能可贵。不足之处是在对圆柱体问题的探究中考虑不周，有其他可能未进行探究。继续努力，力争把问题研究的更清楚、更透彻。 两点之间线段最短的探究与再思考 原静雯 初一上学期，我们学习了两点之间线段最短的知识，并利用它作了一节课，相信大家对它还是记忆犹新的。自从那次课后，不知大家有没有进行更深的思考，小人不才，愿用这贫乏的文字，说一说我的想法。 探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。（如图所示）                 解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。如图所示。线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。 总结：本题虽然十分简单，但却是所有有关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。下面一题，就是上一题的变形，你还会做吗？ 探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。（如图所示）                               解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。所以，PB=PB＇。因此，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。因此只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。 结论：我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。 探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。(如图所示)                          解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。 总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。下面我们看一看四边形一边确定。 探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。（如图所示）                       解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF即可。如图。ABCD便是周长最小的。 （2）下面我把上一题简单变形，把锐角变为直角，大家再看，本图有没有似曾相识之感？对了，我们见过的，只用把两条直角边所在直线看作是一个平面直角坐标系，再把AB两点固定位置，这样，就变为了月考附加题中的最后一题。 原题：在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0， n）、D(m,o),当四边形ABCD的周长最短时，求m/n的值。 解：依题意画图得：           由探究问题四得知，作B关于Y轴的对称点B＇，A关于X轴的对称点A＇。连接A＇B＇，他们与X轴，Y轴的交点便为所求。如图所示，过A＇与B＇两点的直线的函数解析式可求。设过A＇与B＇两点的直线的函数解析式为y=kx+b. 依题意得：-8k+b=-3, 4k+b=5 解得，k=2/3,b=7/3 所以，（0,n）为（o,7/3） (m,o)为(-3.5,o) 所以，m/n=-2/3 以上，便就是我对此问题的一些想法，复杂费解的问题是不是简单了许多？好理解了许多呢？