教研文章 积累画图分析数量关系的活动经验 ──《用画图的策略解决相遇问题》教学谈

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论文交流 关注数学基本活动经验是数学教育目标现代演变的一个主要标志，《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、自主探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识和技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。近年，我们致力于“依托苏教版教材积累学生数学活动经验”的课例研究，用具体的课例研讨教学活动优化、活动环节重构，帮助学生积累数学活动经验。现以四年级下册《行程问题》的教学为例。
【片段一】课前孕伏，激活已有经验
有时线段图能简洁表示一段繁琐的信息。课前我们做了两道练习，说说你是用怎样的方法整理问题中的信息，并解决问题的？（出示“课前作业设计”）
1.一条裤子20元，一件上衣的价格是裤子的3倍，妈妈买一套这样的衣服需要多少元？（先用线段图表示题意，再解答）
2.希望小学有一个正方形花圃，在修建校园时，花圃的一组对边各增加了3米。这样，花圃就变成了长方形，面积比原来增加了24平方米。原来的花圃面积是多少平方米？（先在右图中画出增加的部分，再解答）
课前作业设计了两道练习题。第1题是用两步计算解决实际问题，要求学生画线段图分析数量关系，确定解题思路。第2题是在学生初步学习画图策略解决实际问题的基础上，用画图的策略解决稍复杂的实际问题。
以前执教《行程问题》，在引导学生用自己想到的办法整理信息的环节，我们发现，“画线段图整理问题信息”要么是由教师直接提出的，要么是经过课堂上层层铺垫和多方暗示后由个别学生提出来的。显然，“画线段图整理问题信息”在教学中不是来源于学生的“自主发现和选择”，而是“被发现”的结果。事实说明，学生在本课学习之前缺乏画线段图整理问题信息的活动经验，而这种活动经验对分析行程问题的数量关系又是弥足珍贵的。进一步钻研教材，我们发现，学生在三年级解决只含有两个条件的两步计算实际问题时，已初步经历过画线段图分析数量关系的数学活动。因此，我们认为要激活学生头脑中已有的“画线段图整理”的直接操作经验。

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【片段二】课中亲历，体悟新生经验

出示例题和主题图：小明和小芳同时从家里出发走向学校（如图），经过4分两人在校门口相遇。他们两家相距多少米？

师  知道哪些条件，求什么问题？

生  小明每分行70米、小芳每分行60米，

行了4分钟相遇，求两家相距多少米。

师  请试着用想到的方法，列表或画图来整理题目的条件和问题，比一比，谁整理的简洁、清楚和完整。

学生独立完成，教师了解学生的独立整理作业，并收集不同情况的代表性作业：

师  有些同学用列表的方法整理条件和问题，有些同学是画线段图整理的。老师先选了其中的两份作业，比一比，说说你们的想法。（出示图1和图2）

生  用线段表示两家的距离，用点表示小明家、小芳家、学校的位置，更简洁。

师  用线段图整理信息更简洁。用两条线段和一条线段整理信息，哪种更合适？（出示图3）

生  画两条线段不能表达“相遇”的含义，用一条线段才能更好地表示两人“相遇”了。

师  这位同学也是用一条线段图整理信息的，再和第一幅图比较，你觉得这幅图整理得怎么样？（出示图4）

生  他表示了题目中所有的条件和问题，整理得比较完整。

师  对，这位同学不仅用一条线段表示了三个地点，而且用文字摘抄了题目中的条件，完整地表达了题目的意思。比一比，又有什么想说的？（出示图5）

生  这条线段图表示的信息全面又简洁。

师  相比之下，这位同学画的线段图更简洁，你们知道他画的图各部分表示什么信息吗？（出示图6）

生  左边起，每格表示每分钟走70米，4格表示小明共走4分钟到达学校。因为每分钟都是行70米（或60米），所以线段图中的每小段都一样长。

生  两人从家同时出发上学，4分钟相遇，两边的4小段就表示“行4分钟两人相遇”。

生  因为小明每分钟行70米，小芳每分钟行60米，小明的速度比小芳快，所以左边的每小段要比右边长一点点……

每个学生都是以自己的方式建构对数学的理解，学生数学活动经验的领悟与转化常常受到个人学习风格的影响，要克服个人学习活动经验的局限性，往往要给学生提供合作交流的平台，促进个人经验的交流与融合。正是通过“粗糙与精细”“烦琐与简洁”“片面与完整”多层次的对比与思考，在“说一说，他们的整理方法有什么优势”的交流活动中，学生已有的活动经验不断被激活并融入进来，本来有缺陷的经验逐渐被修正，粗糙的经验渐渐趋于精致，浅层次的经验获得了有效的提升，新生成的数学活动经验很自然地嵌入学生的经验系统。如果教师一开始就告诉学生画线段图整理信息比较好，并示范整理信息的方法，让学生通过模仿、操练来掌握画线段图整理信息的技能，那样学生看似参与了活动，但充其量不过是担任了一次“操作工”。具有生长性的数学活动经验，少不了学生主动的行为参与，更离不开学生自觉的思维参与。

【片段三】课末提升，积累活动经验

师  画线段图整理行程问题的信息更形象，更直观。接着，我们用画图的策略解决类似的生活问题。先想一想，习题与例题有那些异同，可以先画图整理问题信息，再解决。

1.小芳和小明同时从同一地点出发，小芳向东走，每分走60米；小明向西走，每分走55米；经过3分，两人相距多少米？

     2.小芳和小明在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，反向而行。小芳张每秒跑4米，小明每秒跑6米，经过40秒两人相遇，跑道长多少米？

    学生独立作业。

师  刚才，我们用画图的策略解决每一个问题时，所画的三种示意图，虽然不相同，但实质是一样的，像这样相向而行、相背而行、环形跑道相遇的行程问题，我们都可以利用画图的策略帮助我们理解和解决。（出示习题和示意图）

师  正如华罗庚爷爷所说：数形结合百般好，数形隔离万事休。有了刚刚的经验，相信你们一定能有效利用画图策略解决新问题。（出示课堂作业题）

“反思是最重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力”。当学生的数学活动经验积累到一定程度后，教师应引导学生在回顾的基础上进行深度反思，这样一方面可以发挥经验因素在数学学习中的积极作用；另一方面也能使学生有意识地避免经验因素的消极作用，使积累起来的数学活动经验能够很好地为学生所用。上述教学中，学生在合作交流中领悟了“相遇问题”的本质，在此基础上及时解决“反向行走”“环形跑道行走”等典型问题，学生在运用策略、对比反思的过程中感受到行程问题的“变”与“不变”，进一步积累了画线段图解决实际问题的基本数学活动经验。

刘加霞博士指出：经验的获得需要“领悟”与“转化”。通过参与具体活动或替代性的视觉观察，直接领悟获得具体经验；然后对所经历的活动通过回顾、反思等内在的思考，内化为能够理解的、合乎逻辑的、抽象的经验；最后将获得的经验在解决新问题中进行证实和运用，重新领悟和创生新的经验。可以说，学生的数学学习，往往就是以知识体系为依托，以数学活动为载体，经历早期孕伏、课间亲历、课末提升这样不断循环往复的过程，实现数学活动经验的激活、体悟和积累。