小学数学思维过程分析的理论和方法

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第六章        数学模型方法
1．模型方法一般分为：实物模型，思想模型
2．模型方法具有可重复性、可操作性，能动地反映了客观事物的相互关系，促进了模拟、类比方法的现代化
3．数学建构：使用数学概念、数学符号、数学语言等表述出来的被研究对象的纯关系结构
4．数学模型的解释——
        广义：数学中的各种基本概念都是数学模型，因为它们都是在各自相应的原型实体中抽象的数学模型
        狭义：将具体属性抽象出来构成一种特定的数学关系结构，只有那些反映特定问题或待定事物系统的数学结构才叫做数学模型
5．数学模型方法：利用构造具体问题的数学模型来解决实践中遇到的问题
6．数学模型的分类——
①        按来源分：理论模型、经验模型
②        按研究领域分：经济模型、人口模型、生态模型、交通模型等
③        按使用的数学工具分：函数模型、方程模型、三角模型、几何模型、概率模型等
④        按涉及的变量状况分：离散模型、连续模型
⑤        按功能分：描述性模型、解释性模型
7．描述性模型：从特殊到一般，即从分析具体的客观事物及状态中，经过数学语言（概念、符号与公式等）的描述，得到一个数学模型。
        最具代表性的是“格尼斯堡七桥问题”        
        “七桥问题”结论：如果每点引出的线都是偶数条则可以一笔画出，如果出现两个奇数点也可以一笔画，但是如果出现两个以上的点引出的线是奇数条那就不可能一笔画。
8．描述性数学模型分类：
确定性数学模型（如代数方程、微分方程、函数方程、积分方程）
随机性数学模型（如概率论、数理统计等；布丰的投针实验）
模糊数学模型（采用模糊数学的方法）
9．解释性数学模型：由一般到特殊，即从一般的公理化系统出发，运用数学的某种结构形式对公理系统给出某种结束的一种数学模型方法。
        如庞加莱给出的一个非欧几何的数学模型
10．数学模型的构造：指对现实世界中的原型进行具体地数学建构的过程
11．数学模型建构的步骤：
①        掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式
②        确定所研究原型的本质属性，从而抓住问题的实质
③        建立数学模型
④        对数学模型进行运演和检验
12．对中小学数学模型方法的教学的注意事项：
①        通过对数学模型的构造能够深入地认识和理解数学的本质特征
②        运用数学模型的直观、形象作用，强化学生的数学感受能力
③        引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题

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第七章        化归法
1．“化归”就可理解为转化、归结的意思。
  数学中的化归法是指把待解决的问题归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，从而求得原问题解决的一种方法，化归法有时也称为化归原则。
  化归法的核心思想是指对问题的转换
  化归法的特征是转换、转化
2．熟化：向自己熟知、熟练的问题上转化
3．外部的化归法：其一是把一个实践问题化为数学问题（建立数学模型过程），其二是解决数学问题的求解问题
4．变形法包括：等价变形，恒等变形，同解变形，参数变形
5．在中小学数学中等价变换大体有如下两个方面：
在数的方面——有等值变换，同余变换，同解变换等
在形的方面——有合同变换，相似变换，等积变换等
6．恒等变形包括：多项式的恒等变形，分式的恒等变形，有理式的恒等变形，对数式的恒等变形，三角式的恒等变形等
7．同解变形：在等价转化思想的指导下，通过等价的变换，使原来的等式与变形的等式有相同的解
8．关系映射反演方法，也称关系映射反演原则，或简称RMI方法
9．RMI方法是通过映射，定映，反演三个主要步骤来解决问题的



第八章        逐次渐进方法
1．逐次渐进方法的分类：一类是对数学问题解法的逐次渐进方法，另一类是对数学问题本身的逐次渐进方法
所谓数学问题解法的逐次渐进方法，是指对数学问题先给出一个可行的或近似的初始解，然后以这个初始解为基础，按一定的程序给出一个解的序列，这个解序列的极限就是该问题的最后解。
        所谓数学问题本身的逐次渐进方法，是指我们在研究数学问题时，从较大的范围开始逐步缩小问题的范围，通过对这些缩小范围的数学问题的解决，并且通过对解决问题方法的分析、综合等获得对原来问题解决的一种方法。
2．逐次渐进方法的应用：逐次试验、选择方法；逐步逼近与无限逼近的方法；递推法；递归法
        递归法：把未知对象排成一个序列，并先求得第一个未知对象的结果，然后利用已经获得的第一个未知对象的结果，求得第二个未知对象。
3．类比猜想：依据两类对象之间存在的某些相同或相似的特征、属性、形式，猜测它们可能存在其他方面相似的特征、属性或形式的一种思维方式

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第九章        数学中常用的几种方法
1．分析法：执果索因
2．综合法：由因导果
3．形式化
•数学形式化的教学和解决问题时应该注意两点：
①        强调内在规律、规则的限制
②        具体问题的数学形式化解决答案要符合实践要求
•中小学的数学是处于与实践问题密切联系的特殊的形式化阶段——
①        中小学数学也是数学的形式，因此它必然是形式化的表现形式
②        由于特定的年龄段学习心理的局限以及中小学数学教学目标的要求，数学的形式化都隐其后，而以现实、生动的数学问题来表现数学的形式化
•数学中常见的形式化的问题有：数量及关系的形式化（用字母、符号表示数量及关系）、概念定义形式化（用符号表示数学概念）、命题及证明形式化（如数理逻辑语言符号）等
•数学的形式化发展，经历公理化方法的阶段：实质公理化，形式公理化，元数学的建立
•元数学的目标要论证数学的无矛盾性以及理论构成的严谨、完美
4．演绎法：从一般原理推出个别结论。由大前提、小前提、结论组成的三段论式的论证推理。
•演绎法的注意事项——
①        掌握演绎法运用的形式化特点
②        必须严格遵守其形式化的规则，必须清楚每一步推理、每一步运算的前提依据是什么
③        应用形式化的演绎方法时，应当注意前提条件的内涵
5．构造法
•数学是数学符号的表达式
•构造法：也称构造性方法，指数学中的概念和方法，按固定的方式经过有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。
•构造法的特征：对所讨论的对象能有较为直观的描述；不仅能判明某种数学结论的存在，而且能够实现运演操作并求出具体的表达效果
6．反例法
•反例法：建立在数学证实的理论与逻辑推理基础上的并且具有一定否定作用的例子
•反例法的作用——
①        有助于发现原有数学理论的局限性，从而推动数学的迅速发展
②        有助于澄清数学概念和理论，从而使人们深入理解数学的内涵
③        有助于数学的学习，提高数学学习的兴趣和研究、构造数学的能力
•构造反例的方法：特例选择，性质分析，类比构造等
7．数学命题的基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断

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第十章        数学建模、数学实验中的数学思维方法
1．数学模型化方法：通过抽象、概括和一般化，把所研究的对象或问题转化为数学或数学结构，即转化为本质统一的另一对象或问题加以解决的思维方法。
2．数学模型化方法的作用：对所研究的对象处理的典型化、形式化和精确化，从而在认知方法上也起到了清晰化和简洁化的作用。
3．最早的数学建模专著：《九章算术》
4．数学建模：通过对实际问题的抽象和简化，确定变量和参数，并根据某些变化规律建立起的变量与参数间的具有确定关系的数学问题或数学结构，求解该数学问题，解释验证所得到的结果，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环和不断深化的过程。
数学建模是从特殊到一般的数学模型方法的描述性模型。
5．数学建模的一般步骤：
①        模型准备（分析问题）
②        模型假设
③        模型建立
④        模型求解
⑤        模型仿真分析
⑥        模型检验与应用
⑦        写报告作结论
6．数学实践能力包括：观察能力，分析能力，推理能力，抽象能力，应用知识能力的综合表达
7．数学建模主要是使学生认识数学（知道数学有用），理解数学（明白数学可用），掌握数学（实践中会用），应用数学（解决实际问题）
8．数学实验方法：在一定的数学思想、数学理论指导下，经过某种预先的组织设计，借助于一定的仪器和技术手段，进行数学化实际操作，包括对客观事物的数量化特性进行观察、抽象、测试、检验、逼近、仿真等，进而解决数学和科学问题的一类科学研究方法。
9．数学实验方法的本质特征：实践性，创造性，演绎与归纳的统一性，经济实用性与应用广泛性
10．数学实验方法的方法论意义：发现和总结数学规律，验证和检验数学问题，应用和解决建模问题
11．数学实验方法偏重于方法的运用，而数学建模偏重于问题的解决。
12．数学实验教学模式创设了一种“问题、实验、交流、猜想、验证”的新模式。
包括五个环节——创设情境、活动与实验（主体和核心环节）、讨论与交流、归纳与猜想、验证与数学化
13．在数学教育的意义上，数学实验方法的作用：
①        培养学生的思维方法
②        有效地促进学生数学问题解决能力的养成
③        能更好地培养学生的数学情感

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第十一章        数学文化与数学思维方法
数学思维的研究意义：
①        数学思维的研究与教学，现在与今后仍是数学教育的重要目标之一
②        数学思维方式是中西数学、中西文化碰撞、交流、融合的结合点之一
③        数学思维教育是提高民族思维方式的重要途径
④        数学思维对提高民族理性精神有重要意义



第十二章        数学方法论的研究与发展
1．我国数学美的概念是在徐利治教授提出来之后才展开较为广泛的研究
2．数学美：包括美的本质、美在数学中存在的类型和表现形态，不同数学分支之间美的关系
  数学美包括：结构美，语言美（属理论表述方面），方法美（属方法内容，也称形式美）
3．数学美的特征：简洁性，对称性，统一性，奇异性
4．波利亚的《怎样解题》将解题的过程分为四个阶段：
①        弄清问题
②        制定计划
③        执行计划
④        回顾
5梅森以解题为中心，把解题分为三个阶段：进入、着手、回顾
  梅森认为，数学思维实质上就是归结为：特殊化，一般化，猜测和确认
6数学思维、数学方法具有的特征：过程性，层次性，实用性